qui en marque le déplacement par rapport à l’état d’équilibre ; de sorte que le rayon d’une couche sphérique, qui dans l’état d’équilibre était égal à
sera à présent égal à
Donc, si nous posons
ou
afin que
exprime le changement de cette couche, la particule
sera déterminée par cette équation
![{\displaystyle {\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=-{\frac {2u}{\mathrm {V} ^{2}}}+{\frac {2}{\mathrm {V} }}{\frac {\partial u}{\partial \mathrm {V} }}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \mathrm {V} ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eb323dc60826a8db59c081ba60d4701484abb00)
Après plusieurs recherches, j’ai enfin trouvé que cette équation admet une résolution générale semblable au cas où l’on ne suppose à l’air qu’une seule dimension ; que
marque une fonction quelconque de
et qu’on indique son différentiel en [cette] sorte,
![{\displaystyle d\Phi (z)=\Phi '(z)dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e52d9d354489341e17bf266e9db4d395eaabc6a)
Cela posé, on verra qu’on satisfait à notre équation en supposant
![{\displaystyle u=\mathrm {\frac {A}{V^{2}}} \Phi \left(\mathrm {V} \pm t{\sqrt {2gh}}\right)-\mathrm {\frac {A}{V}} \Phi '\left(\mathrm {V} \pm t{\sqrt {2gh}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255b0425fb578dca1058e693c209e72f14e1289f)
Donc, pour le commencement de l’agitation, nous aurons cette équation
![{\displaystyle u=\mathrm {\frac {A}{V^{2}}} \Phi (\mathrm {V} )-\mathrm {\frac {A}{V}} \Phi '(\mathrm {V} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6a417f50756699e14eb5a825bcee1595c00cf4)
d’où l’on voit que, pour appliquer cette formule à la propagation du son, la fonction
doit toujours être égale à zéro, excepté les cas où la quantité
est extrêmement petite. Or il faut que la fonction
ait la même propriété et encore celle-ci
en supposant
afin que non seulement la quantité
mais aussi la vitesse
s’évanouissent au commencement, partout excepté dans le petit espace autour de
où s’est fait l’ébranlement primitif. Que le caractère
marque des fonctions discontinues de la même nature, et nous aurons la solution générale qui suit
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=&\mathrm {\frac {A}{V^{2}}} \Phi \left(\mathrm {V} +t{\sqrt {2gh}}\right)-\mathrm {\frac {A}{V}} \Phi '\left(\mathrm {V} +t{\sqrt {2gh}}\right)\\&+\mathrm {\frac {B}{V^{2}}} \Psi \left(\mathrm {V} -t{\sqrt {2gh}}\right)-\mathrm {\frac {B}{V}} \Psi '\left(\mathrm {V} -t{\sqrt {2gh}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2fca75739844d1880b481fffa31afc342ed4c8d)