pourvu que
où
sont des quantités quelconques, et
la marque d’une fonction quelconque. Donc quelques valeurs qu’on prenne, on aura toujours le cas d’un certain ébranlement dont on pourra déterminer la continuation. Mais, pour notre dessein, il s’agit de trouver un tel cas, où l’ébranlement initial aura été renfermé dans un petit espace, d’où il est répandu ensuite en tout sens. Soit donc
le centre de l’agitation primitive, et posons
![{\displaystyle p=\mathrm {X} s,\qquad q=\mathrm {Y} s,\qquad r=\mathrm {Z} s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b085e4f3bd7967b22eec9aeb79d0eb8756a7c60)
et
sera une fonction du temps
et de la quantité
qui marque la distance du point
Donc, puisque
![{\displaystyle ds={\frac {\partial s}{\partial t}}dt+{\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}d\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d339666bd5208c704975de52e125c7e079b92fd0)
nous aurons
![{\displaystyle ds={\frac {\partial s}{\partial t}}dt+{\frac {\mathrm {X} d\mathrm {X} +\mathrm {Y} d\mathrm {Y} +\mathrm {Z} d\mathrm {Z} }{\mathrm {V} }}{\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ef4e3e2f46b7a010e1472b9ae0c476da9dc9a5)
et puis
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial \mathrm {X} }}=s+\mathrm {\frac {X^{2}}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }},\qquad {\frac {\partial q}{\partial \mathrm {Y} }}=s+\mathrm {\frac {Y^{2}}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }},\qquad {\frac {\partial r}{\partial \mathrm {Z} }}=s+\mathrm {\frac {Z^{2}}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591878a4258b3a49fc5dc3f978cc53500b803a82)
Donc
![{\displaystyle u={\frac {\partial p}{\partial \mathrm {X} }}+{\frac {\partial q}{\partial \mathrm {Y} }}+{\frac {\partial r}{\partial \mathrm {Z} }}=3s+\mathrm {V} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5143d6581737e700182bb78bf5f8634b79af8b1)
Maintenant, ayant
![{\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {X} }}=\mathrm {\frac {X}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }},\qquad \mathrm {\frac {\partial V}{\partial X}} =\mathrm {\frac {X}{V}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd154f7bd75fd242ba5d21f298c28116f406ad54)
notre première équation deviendra
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {X} }{2gh}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=\mathrm {\frac {3X}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}+\mathrm {\frac {X}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}+X{\frac {\partial ^{2}s}{\partial \mathrm {V} ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7e7dcc06f5afde47013063cbc1ebac7485e4b3)
ou
![{\displaystyle {\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=\mathrm {\frac {4}{V}} {\frac {\partial s}{\partial \mathrm {V} }}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial \mathrm {V} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea139087d369c34b7206964ecb156e32ba04b88)
à laquelle se réduisent aussi les deux autres, et l’éloignement du point
depuis le centre
sera
![{\displaystyle \mathrm {V} s=s\mathrm {\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}} ={\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdee621ff89114785d25ad9c9fb31eb4ba9bca8e)