Pour
on a
![{\displaystyle i={\frac {15+{\sqrt {33}}}{8}}p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21e0495da2eef4947b08c21356eadece271798d)
Si, au lieu de l’égalité de deux zones, on suppose entre elles une inégalité quelconque, telle que la zone conoïdique soit plus petite que la zone conique, on recevra d’une manière semblable, au moins, toujours une valeur possible pour
même toute autre courbe nous conduira au moins à une valeur possible pour
Le contraire de ce que M. Lagrange a avancé tombe, comme je crois, sans peine, d’abord dans les yeux, si la courbe est un cercle, et que celui (-ci) engendre une sphère. Il me semble donc que la démonstration du no 137 doit être comme il suit :
1o La corde est
![{\displaystyle {\sqrt {i^{2}+\left[f(x+i)-f(x)\right]^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2a99a0129e24cb490212e2d8f7d430b224dcf5)
or, par le no 53,
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x+j)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0622e1769b16fadeb2ef1b6c83da44a11156ff)
donc la corde est
![{\displaystyle i{\sqrt {1+\left[f'(x+j)\right]^{2}}}=i\varphi (x+j)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8687f142ddc49b603df768669c57fb5fac287d7b)
partant :
2o La zone conique engendrée par cette corde est
![{\displaystyle \pi i\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x+j)\right]\varphi (x+j).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe8b99cb3c18e999dba43d8f0de0278f5127133)
3o Par le no 53, on a aussi
![{\displaystyle \Phi (x+i)=\Phi (x)+i\Phi '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\Phi ''(x+j)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce9aeb709a904dff799fe43fd64fdbb945d03d1)
donc on a la zone conoïdique
![{\displaystyle \Phi (x+i)-\Phi (x)=i\left[\Phi '(x)+{\frac {i}{2}}\Phi ''(x'+j)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2e008b37a4378cbe88039f9f715d50241b5ae1)
laquelle est toujours plus grande que la zone conique dans 2o.