8. Cela posé, je vais commencer par chercher l’intégrale de l’équation (C) du no 5 ; pour cela je fais
![{\displaystyle dt={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18b9ac09766f7bf375ee5ecbebe52eaa8ba8246)
en sorte que l’on ait les deux équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}dt&={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},\\dt&={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c83b84fdd2e841cfea73d529ee58c8b5a59e3b8)
Je multiplie ces deux équations en croix, et je les quarre pour les délivrer du signe radical, ce qui me donne ces deux-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&\alpha +\beta x+\gamma x^{2},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\alpha +\beta y+\gamma y^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9940c34b806397eb5db13b5ee8783d106026dc)
Je différentie maintenant ces équations en prenant
pour constante, et divisant la première par
et la seconde par
j’aurai
![{\displaystyle {\begin{aligned}2{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma x,\\2{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma y.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea71d420125445361334a1e0ff8d0d18dde4ee4a)
Or, en ajoutant ces deux équations ensemble, et faisant
on aura l’équation
![{\displaystyle 2{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=2\beta +2\gamma p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7223b5380c946c3c08ca1c63a66326f189c91f3d)
laquelle étant multipliée par
et ensuite intégrée, donne
![{\displaystyle {\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=k+2\beta p+\gamma p^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2878bd388577e9666e5c7c3023a8b3969acecf1)
étant la constante arbitraire ; d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}={\sqrt {k+2\beta p+\gamma p^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbdb6ac49314c0e453ccd880fc4cf1002558473)