Mais
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}={\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09388000ce5bd6ce574bb8413f60f6aef94607ad)
donc on aura enfin
![{\displaystyle {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\sqrt {k+2\beta (x+y)+\gamma (x+y)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ad15e51e054abcf9214ca4830061d17027a04c)
9. Si, au lieu d’ajouter les deux équations différentio-différentielles, on avait retranché l’une de l’autre, on aurait eu, en faisant
celle-ci :
![{\displaystyle 2{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}=2\gamma q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7455817b6e1fcd37b26cf1c8c4f71f62c45ddc)
qui, étant multipliée par
et intégrée ensuite, donne
![{\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}=\mathrm {H} +\gamma q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56f25753250b619d5711d1708ecdc7d3a95da28)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\sqrt {\mathrm {H} +\gamma q^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a54af0da32ab20aca05fbdfc55768d86c7508f)
Donc, puisque
on aura
![{\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ca13c2e26dbf238a20422b335e4e525b8cda32)
de sorte que l’équation intégrale sera
![{\displaystyle {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\sqrt {\mathrm {H} +\beta (x-y)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bf339d686eef391583230170f9e30446b1e7a2)
étant la constante arbitraire.
10. Les intégrales que nous venons de trouver ne différent point, quant au fond, de celle du no 5, comme il est facile de s’en assurer par le calcul ; mais on peut en trouver encore d’autres plus simples, en donnant seulement un peu plus de généralité à notre méthode.
En effet, si, au lieu de supposer
on suppose
![{\displaystyle {\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e8b2be03ed649dcb5398b5a54d1d8138bb5911)