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Mais

${\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}={\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}},$

donc on aura enfin

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\sqrt {k+2\beta (x+y)+\gamma (x+y)^{2}}}.$

9. Si, au lieu d’ajouter les deux équations différentio-différentielles, on avait retranché l’une de l’autre, on aurait eu, en faisant $x-y=q,$ celle-ci :

$2{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}=2\gamma q,$

qui, étant multipliée par $dq$ et intégrée ensuite, donne

${\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}=\mathrm {H} +\gamma q^{2},$

et par conséquent

${\frac {dq}{dt}}={\sqrt {\mathrm {H} +\gamma q^{2}}}.$

Donc, puisque $q=x-y,$ on aura

${\frac {dq}{dt}}={\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}\,;$

de sorte que l’équation intégrale sera

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\sqrt {\mathrm {H} +\beta (x-y)^{2}}},$

$\mathrm {H}$ étant la constante arbitraire.

10. Les intégrales que nous venons de trouver ne différent point, quant au fond, de celle du n^o 5, comme il est facile de s’en assurer par le calcul ; mais on peut en trouver encore d’autres plus simples, en donnant seulement un peu plus de généralité à notre méthode.

En effet, si, au lieu de supposer $dt={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}}$ on suppose

${\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},$