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c’est-à-dire

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&a^{n}+n(n-1)a^{n-2}b^{2}\\&+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.2}}a^{n-4}b^{4}+{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-5)}{2.3.2.3}}a^{n-6}b^{6}+\ldots .\end{aligned}}$

2^o Il est visible que le trinôme $a+b\left(x+x^{-1}\right)$ peut se décomposer en ces deux binômes $\alpha +\beta x,\alpha +\beta x^{-1},$ ce qui donne, par la comparaison des termes, $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=a$ et $\alpha \beta =b\,;$ d’où l’on tire $\alpha \pm \beta ={\sqrt {a\pm 2b}},$ et delà

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {{\sqrt {a+2b}}+{\sqrt {a-2b}}}{2}},\\\beta =&{\frac {{\sqrt {a+2b}}-{\sqrt {a-2b}}}{2}}.\end{aligned}}$

Cela posé, on aura donc

${\begin{aligned}\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}=&(\alpha +\beta x)^{n}\left(\alpha +{\frac {\beta }{x}}\right)^{n}\\=&\left[\alpha ^{n}+n\alpha ^{n-1}\beta x+{\frac {n(n-1)}{2}}\alpha ^{n-2}\beta ^{2}x^{2}+\ldots \right]\\&\times \left[\alpha ^{n}+{\frac {n\alpha ^{n-1}\beta }{x}}+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {\alpha ^{n-2}\beta ^{2}}{x^{2}}}+\ldots \right],\end{aligned}}$

d’où il est facile de conclure que l’on aura

$\mathrm {A} =\alpha ^{2n}+\left(n\alpha ^{n-1}\beta \right)^{2}+\left[{\frac {n(n-1)\alpha ^{n-2}\beta ^{2}}{1.2}}\right]^{2}+\left[{\frac {n(n-1)(n-2)\alpha ^{n-3}\beta ^{3}}{1.2.3}}\right]^{2}+\ldots .$

2. Corollaire I. — Soit $a=b,$ c’est-à-dire qu’il y ait un nombre égal de cas qui donnent $0,$ ou $+1,$ ou $-1$ d’erreur ; la probabilité d’avoir un résultat exact dans chaque observation particulière sera ${\frac {a}{a+2b}}={\frac {1}{3}},$ et celle d’avoir un résultat exact, en prenant le terme moyen entre les résultats de $n$ observations, sera, suivant la première formule