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${\biggl [}{\biggr .}$ en divisant le haut et le bas de la fraction ${\frac {\mathrm {A} }{(a+2b)^{n}}}$ par ${\biggl .}a^{n}{\biggr ]},$

${\frac {1+n(n-1)+{\cfrac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.1.2}}+{\cfrac {n(n-1)\ldots (n-5)}{1.2.3.1.2.3}}+\ldots }{3^{n}}}.$

Donc, en faisant successivement $n$ égal à $1,2,3,\ldots ,$ on aura

${\begin{array}{lcccccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,&5,&6,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{3}},&{\cfrac {1}{3}},&{\cfrac {7}{27}},&{\cfrac {19}{81}},&{\cfrac {51}{243}},&{\cfrac {141}{729}},\ldots .\end{array}}$

On voit par cette table que la probabilité que l’erreur soit nulle diminue à mesure que l’on prend un plus grand nombre d’observations, de sorte que si l’on voulait estimer l’avantage qu’il peut y avoir à prendre le milieu entre plusieurs observations, par l’excès de la probabilité que l’erreur soit nulle dans le résultat moyen, sur celle que l’erreur soit aussi nulle dans chaque résultat particulier, on trouveraitr dans le cas dont il s’agit ici, que l’avantage serait toujours négatif, c’est-à-dire qu’il se changerait en désavantage, lequel irait même en augmentant plus il y aurait d’observations ; d’où il semble que l’on pourrait conclure que, dans ce cas, il vaudrait mieux s’en tenir à une observation unique, que de prendre le milieu entre plusieurs observations ; mais il y a une considération essentielle à faire sur cette matière, de laquelle il résulte qu’il est toujours plus avantageux dans la pratique de multiplier des observations autant que l’on peut : c’est ce que nous discuterons plus bas.

3. Corollaire II. — Soit maintenant $a=2b,$ en sorte que le nombre des cas qui donnent un résultat exact soit égal au nombre de ceux qui peuvent donner une erreur de $+1$ ou $-1.$ Dans ce cas, il vaudra mieux se servir de la seconde formule, car on aura $\alpha ={\sqrt {b}},\ \beta ={\sqrt {b}},$ de sorte qu’à cause de $a+2b=4b,$ on aura, en divisant le haut et le bas de la fraction ${\frac {\mathrm {A} }{(a+2b)^{n}}}$ par $b^{n},$

${\frac {1+n^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)}{2}}\right]^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\right]^{2}+\ldots }{4^{n}}}$