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maintenant,

${\frac {1}{(p-qx)}}={\frac {1}{p}}+{\frac {qx}{p^{2}}}+{\frac {q^{2}x^{2}}{p^{3}}}+\ldots ,$

et, de même,

${\frac {1}{(p-qx^{-1})}}={\frac {1}{p}}+{\frac {q}{p^{2}x}}+{\frac {q^{2}}{p^{3}x^{2}}}+\ldots \,;$

donc on aura

$\mathrm {Z} =\alpha +{\frac {2\beta }{p}},\quad \mathrm {Z} '=\alpha +{\frac {\beta q}{p^{2}}},\quad \mathrm {Z} ''=\alpha +{\frac {\beta q^{2}}{p^{3}}},\quad \mathrm {Z} '''=\alpha +{\frac {\beta q^{3}}{p^{4}}},\ldots \,;$

donc

$\mathrm {Z} ={\frac {1}{q^{2}-p^{2}}}+{\frac {2}{p^{2}-q^{2}}}={\frac {1}{p^{2}-q^{2}}}={\frac {1}{(p+q)(p-q)}}\,;$

mais puisque $p^{2}+q^{2}=1-az,$ et $pq=bz,$ on aura

$p+q={\sqrt {1-az+2bz}},\quad p-q={\sqrt {1-az-2bz}}\,;$

donc

$(p+q)(p-q)={\sqrt {(1-az)^{2}-4b^{2}z^{2}}}\,;$

donc enfin

$\mathrm {Z} ={\frac {1}{\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}}}=1+\mathrm {A} 'z+\mathrm {A} ''z^{2}+\mathrm {A} '''z^{3}+\ldots ,$

de sorte que l’on aura, pour les fonctions connues,

${\begin{aligned}\mathrm {A} '\ \ &=a,\\\mathrm {A} ''\ &={\frac {3a\mathrm {A} '+4b^{2}-a^{2}}{2}},\\\mathrm {A} '''&={\frac {5a\mathrm {A} ''+2\left(4b^{2}-a^{2}\right)\mathrm {A} '}{3}},\\\mathrm {A} ^{\text{ıv}}&={\frac {7a\mathrm {A} '''+3\left(4b^{2}-a^{2}\right)\mathrm {A} ''}{4}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Dénotons par $\mathrm {P',P'',P'''}$ les probabilités que l’erreur soit nulle en prenant le milieu entre $1,2,3,\ldots ,$ observations, et l’on aura

$\mathrm {P} '={\frac {\mathrm {A} '}{a+2b}},\quad \mathrm {P} ''={\frac {\mathrm {A} ''}{(a+2b)^{2}}},\quad \mathrm {P} '''={\frac {\mathrm {A} '''}{(a+2b)^{3}}},\ldots ,$