d’où
![{\displaystyle \mathrm {A} '=(a+2b)\mathrm {P} ',\quad \mathrm {A} ''=(a+2b)^{2}\mathrm {P} '',\quad \mathrm {A} '''=(a+2b)^{3}\mathrm {P} ''',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf2c0f29484b33b49433c4a259cad8539413588)
donc, substituant ces valeurs dans les formules précédentes et faisant, pour plus de simplicité,
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} '\ \ &={\frac {1}{1+r}},\\\mathrm {P} ''\ &={\frac {3\mathrm {P} '+r-1}{2(1+r)}},\\\mathrm {P} '''&={\frac {5\mathrm {P} ''+2(r-1)\mathrm {P} '}{3(1+r)}},\\\mathrm {P} ^{\text{ıv}}&={\frac {7\mathrm {P} '''+3(r-1)\mathrm {P} ''}{3(1+r)}},\\\mathrm {P} ^{\text{v}}\,&={\frac {9\mathrm {P} ^{\text{ıv}}+4(r-1)\mathrm {P} '''}{5(1+r)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbe66539c9b0a265cac32cba59667aef8e0d5eb)
6. Remarque II. — Si l’on fait
on aura le cas du Corollaire II, où
et l’on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {P} '={\frac {1}{2}},\quad \mathrm {P} ''={\frac {1.3}{2.4}},\quad \mathrm {P} '''={\frac {1.3.5}{2.4.6}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d620335554dda830bd831bf91eff6714e275cde5)
et, en général,
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(n)}={\frac {1.3.5\ldots (2n-1)}{2.4.6\ldots 2n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d15530a7f073a2b24e982dd2dfa3b957b0194f1)
De là on voit que la probabilité diminue toujours à mesure que
augmente, ce que nous avons déjà observé dans le Corollaire cité ; de sorte qu’en prenant
la probabilité deviendra infiniment petite ou nulle ; en effet, par la quadrature de Wallis on a (
étant l’arc de
degrés)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2.2.4.4.6.6\ldots }{1.3.3.5.5.7\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a440f57e5ea6043ac68ab9465907fb5741484497)
c’est-à-dire, en prenant ![{\displaystyle n=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95d0d2ff5092ef306b1f9df43e2620098a6aac3)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2.2.4.4.6.6\ldots 2n.2n}{1.3.3.5.5.\ldots (2n-1)(2n-1)(2n+1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2501c920eb9979c21169d69fe7f00d4c191019c9)