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Ainsi, après avoir calculé les termes $\mathrm {P} ^{(n)}$ et $\mathrm {P} ^{(n+1)},$ soit par les formules du n^o 1, soit par celles de la Remarque I, on pourra trouver à très-peu près tous les termes suivants par la formule précédente.

Au reste, il est facile de voir par cette formule que la probabilité sera nulle à l’infini, c’est-à-dire lorsque $s=\infty \,;$ en effet, il est clair que quel que soit $r,$ pourvu que ce soit un nombre positif, les quantités ${\frac {1\pm {\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}$ seront toujours plus petites que $1\,;$ car supposons, s’il est possible, ${\frac {1\pm {\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}>1,$ on aura donc

$4r^{2}-2\pm 2{\sqrt {4r^{2}-3}}>4\left(1+2r+r^{2}\right),$

savoir

$\pm {\sqrt {4r^{2}-3}}>3+4r,$

et

$4r^{2}-3>16r^{2}+24r+9,$

savoir

$0>12r^{2}+24r+12,$

ce qui ne se peut ; donc, en faisant $s=\infty ,$ les quantités

$\left[{\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}\quad {\text{et}}\quad \left[{\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}$

deviendront nulles, et par conséquent $\mathrm {P} ^{(n+s)}$ aussi.

8. Scolie. — Soit $\rho$ le résultat que chaque observation devrait donner si elle était exacte : puisqu’on suppose que l’on puisse se tromper d’une unité tant en plus qu’en moins, on aura dans chaque observation un de ces trois résultats : $\rho ,\rho -1,\rho +1\,;$ donc, si l’on a deux observations et qu’on prenne le milieu entre leurs résultats, c’est-à-dire la demi-somme de ces résultats, on aura un de ces cinq résultats

${\frac {2\rho }{2}},\quad {\frac {2\rho -1}{2}},\quad {\frac {2\rho +1}{2}},\quad {\frac {2\rho -2}{2}},\quad {\frac {2\rho +2}{2}},$

savoir

$\rho ,\quad \rho -{\frac {1}{2}},\quad \rho +{\frac {1}{2}},\quad \rho -1,\quad \rho +1\,;$