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seront aussi à très-peu près égales à $1\,;$ de sorte qu’on aura, dans cette hypothèse,

${\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n)}=&{\frac {\mathrm {P} ^{(n-1)}+(r-1)\mathrm {P} ^{(n-2)}}{r+1}},\\\mathrm {P} ^{(n+1)}&={\frac {\mathrm {P} ^{(n)}+(r-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}}{r+1}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on voit que les quantités $\mathrm {P} ^{(n)},\mathrm {P} ^{(n+1)},$ etc., forment une suite récurrente dont le dénominateur de la fraction génératrice serait

$x^{2}-{\frac {x}{r+1}}-{\frac {r-1}{r+1}}\,;$

ainsi, on aura en général

$\mathrm {P} ^{(n+s)}=\mathrm {A} \left[{\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}+\mathrm {B} \left[{\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s},$

et, pour déterminer les coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on supposera que les termes $\mathrm {P} ^{(n)}$ et $\mathrm {P} ^{(n+1)}$ soient connus, ce qui donnera

$\mathrm {P} ^{(n)}=\mathrm {A} +\mathrm {B}$

et

$\mathrm {P} ^{(n+1)}=\mathrm {A} {\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}+\mathrm {B} {\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}},$

d’où

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\left(1-{\sqrt {4r^{2}-3}}\right)\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}},\\\mathrm {B} =&{\frac {\left(1+{\sqrt {4r^{2}-3}}\right)\mathrm {P} ^{(n)}-2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n+s)}&=\left[{\frac {\mathrm {P} ^{(n)}}{2}}+{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}}\right]\left[{\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}\\&+\left[{\frac {\mathrm {P} ^{(n)}}{2}}-{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}}\right]\left[{\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s},\end{aligned}}$

et cette formule sera d’autant plus exacte qu’on prendra le nombre $n$ plus grand.