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et l’on aurait

${\begin{aligned}&{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}\\&\qquad =(x-y){\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}.\end{aligned}}$

14. La différence des deux quantités qui sont sous le signe étant

$\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right)+\delta \left(x^{3}-y^{3}\right)+\varepsilon \left(x^{4}-y^{4}\right),$

on aura par l’équation (D)

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}$

${\begin{aligned}&={\frac {\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right)+\delta \left(x^{3}-y^{3}\right)+\varepsilon \left(x^{4}-y^{4}\right)}{(x-y){\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}}}\\&={\frac {\beta +\gamma (x+y)+\delta \left(x^{2}+xy+y^{2}\right)+\varepsilon \left(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\right)}{\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}}\end{aligned}}$

donc, combinant cette équation avec celle que nous venons de citer, on aura

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}={\frac {(x-y){\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}}{2}}$

$+{\frac {\beta +\gamma (x+y)+\delta \left(x^{2}+xy+y^{2}\right)+\varepsilon \left(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\right)}{2{\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}}}$

$={\frac {\beta +\gamma (x+y)+\mathrm {G} (x-y)+\delta \left(2x^{2}+xy\right)+2\varepsilon \left(x^{3}+x^{2}y\right)}{2{\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}}},$

d’où, en multipliant en croix et quarrant les deux membres de cette équation, il viendra

${\begin{aligned}\beta ^{2}&-4\alpha \mathrm {G} +\left(2\beta \gamma +4\alpha \delta -2\beta \mathrm {G} \right)(x+y)+\left(\gamma ^{2}-4\alpha \varepsilon \right)(x+y)^{2}\\&+\mathrm {G} ^{2}(x-y)^{2}-2\beta \delta xy-2\gamma \mathrm {G} \left(x^{2}+y^{2}\right)\end{aligned}}$

$+\left(2\gamma \delta -4\beta \varepsilon -2\delta \mathrm {G} \right)(x+y)xy+\left(\delta ^{2}-4\varepsilon \mathrm {G} \right)x^{2}y^{2}=0,$

ou bien

${\begin{aligned}\beta ^{2}&-4\alpha \mathrm {G} +\left(2\beta \gamma +4\alpha \delta -2\beta \mathrm {G} \right)(x+y)\\&+\left(\gamma ^{2}-4\alpha \varepsilon \mathrm {G+G^{2}} \right)\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\left(\gamma ^{2}-4\alpha \varepsilon -\beta \delta -\mathrm {G} ^{2}\right)xy\end{aligned}}$

$+2\left(\gamma \delta -2\beta \varepsilon -\delta \mathrm {G} \right)(x+y)xy+\left(\delta ^{2}-4\varepsilon \mathrm {G} \right)x^{2}y^{2}=0\,;$