Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/20

et cette équation sera également l’intégrale de l’équation (E) et de l’équation (F) (n^os 12 et 13) ; ce qui s’accorde avec ce qu’on a démontré dans le n^o 6.

15. Considérons maintenant en général l’équation

${\frac {dx}{\sqrt {X}}}={\frac {dy}{\sqrt {Y}}},$

$\mathrm {X}$ étant une fonction quelconque de $x,$ et $\mathrm {Y}$ une fonction quelconque de $y.$ On aura d’abord les deux équations

${\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {X}}},\qquad {\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dy}{\sqrt {Y}}},$

d’où l’on tire

${\frac {\mathrm {T} ^{2}dx^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {X} ,\qquad {\frac {\mathrm {T} ^{2}dy^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {Y} ,$

et différentiant, en faisant $dX=X'dx,\ dY=Y'dy,$

${\begin{aligned}{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dx+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}x}{dt^{2}}}=&\mathrm {X} ',\\{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dy+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}y}{dt^{2}}}=&\mathrm {Y} '.\end{aligned}}$

Soit

$x+y=p,\quad x-y=q,\quad d\mathrm {T} =\mathrm {M} dp+\mathrm {N} dq,$

on aura, en ajoutant les deux équations précédentes ensemble,

${\frac {2\mathrm {T} \left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {N} dpdq\right)+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}p}{dt^{2}}}=\mathrm {X'+Y'} .$

Or

$dpdq=dx^{2}-dy^{2}={\frac {(\mathrm {X-Y} )dt^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}\,;$

donc, substituant cette valeur, on aura

${\frac {2\mathrm {T} \left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=\mathrm {X'+Y'} -\mathrm {\frac {2N(X-Y)}{T}} .$

Maintenant, puisque $x+y=p,s\ x-y=q,$ on aura

$x={\frac {p+q}{2}},\qquad y={\frac {p-q}{2}},$