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ce qui donne

$p^{2}-q^{2}={\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}},$

et, de là,

${\frac {q}{p}}={\frac {1-az-{\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}}}{2bz}}\,;$

de sorte qu’en faisant, pour plus de simplicité,

$\zeta ={\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}},$

on aura

$\mathrm {Z} ={\frac {1}{\zeta }},\quad \mathrm {Z} '={\frac {1-az-\zeta }{2bz}}{\frac {1}{\zeta }},\quad \mathrm {Z} ''=\left({\frac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{2}{\frac {1}{\zeta }}.$

et en général

$\mathrm {Z} ^{(\mu )}=\left({\frac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{\mu }{\frac {1}{\zeta }},$

Or, si l’on développe cette quantité en une série de puissances rationnelles et entières de $z,$ on verra aisément, par ce que nous avons dit plus haut, que le coefficient d’une puissance quelconque, comme $z^{n},$ dénotera le nombre des cas où la somme des erreurs de $n$ observations pourra être $+\mu$ ou $-\mu ,$ de sorte que le double de ce coefficient exprimera le nombre de tous les cas où l’erreur moyenne sera $\pm {\frac {\mu }{n}}.$ De là il est facile jn de conclure que la quantité

${\frac {1+2{\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}+2\left({\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{2}+\ldots +2\left({\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{\mu }}{\zeta }},$

étant regardée comme une fonction de $z$ et développée suivant les puissances de cette variable, donnera une série de telle nature que le coefficient d’une puissance quelconque $z^{n}$ exprimera justement le nombre de cas où l’erreur moyenne pourra être renfermée dans ces limites $-{\frac {\mu }{n}},+{\frac {\mu }{n}}\,;$ de sorte que, ce coefficient étant divisé par le nombre total de cas $(a+2b)^{n},$ on aura la valeur de la probabilité que l’erreur moyenne