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cela il est clair qu’il n’y a qu’à chercher le plus grand terme du trinôme $a+b+c$ élevé à la puissance $n\,;$ car supposant que ce terme soit $\pi a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma },$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ étant les exposants de $a,b,c,$ dont la somme doit être égale à $n,$ et $\pi$ le coefficient de ce terme, il n’y aura qu’à mettre ${\frac {b}{x}}$ à la place de $b,$ et $cx^{r}$ à la place de $c,$ et l’on aura

$\pi a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }x^{-\beta +r\gamma }$

pour le terme cherché de la puissance $n$^ième du trinôme $a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}\,;$ ainsi on fera $-\beta +r\gamma =\mu ,$ et l’on aura

${\frac {r\gamma -\beta }{n}}$

pour l’erreur moyenne dont la probabilité sera la plus grande.

Or, par les règles des combinaisons, on sait que le coefficient $\pi$ du terme $\pi a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ doit être

${\frac {1.2.3\ldots n}{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1,2.3\ldots \gamma }}\,;$

dénotons ce terme par $\mathrm {M} ,$ en sorte que l’on ait

${\frac {1.2.3\ldots n\times \pi a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }}{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1,2.3\ldots \gamma }}=\mathrm {M} ,$

et il faudra qu’en faisant varier les exposants $\alpha ,\beta ,\gamma$ la valeur de $\mathrm {M}$ diminue ; faisons donc varier $\alpha$ d’une unité, en sorte que $\alpha$ devienne $\alpha +1,$ et comme $\alpha +\beta +\gamma =n,$ il faudra que $\beta$ ou $\gamma$ diminue en même temps d’une unité ; or, il est facile de voir que si dans la valeur de $\mathrm {M}$ on met $\alpha +1$ pour $\alpha$ et $\beta -1$ pour $\beta ,$ cette valeur deviendra

${\frac {\beta }{\alpha +1}}{\frac {a\mathrm {M} }{b}},$

donc

${\frac {\beta }{\alpha +1}}{\frac {a\mathrm {M} }{b}}<\mathrm {M} ,$

et, par conséquent,

${\frac {\beta }{\alpha +1}}{\frac {a}{b}}<1\,;$