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cette série étant continuée jusqu’à ce que l’on parvienne à des termes négatifs ; donc ce coefficient sera celui de la puissance $x^{s-n}$ dans la quantité $\left(a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}\right)^{n}\,;$ donc, si l’on désigne en général par $(\mu )$ le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ de cette dernière quantité, on aura

${\begin{aligned}(\mu )=&{\frac {n(n-1)\ldots (1-\mu )}{2.3\ldots (\mu +n)}}b^{-\mu }a^{\mu +n}\\&+{\frac {n(n-1)\ldots (r-\mu )}{2.3\ldots (\mu +n-r-1)}}b^{r-\mu }a^{\mu +n-r}c\\&+{\frac {n(n-1)\ldots (2r-\mu )}{2\times 2.3\ldots (\mu +n-2r-2)}}b^{2r-\mu }a^{\mu +n-2r}c^{2}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où il faudra toujours omettre les termes qui contiendraient des puissances négatives de $a$ ou $b.$

Donc, puisque pour $n$ observations la somme de tous les cas est $(a+b+c)^{n},$ on aura pour la probabilité que l’erreur moyenne soit la quantité ${\frac {(\mu )}{(a+b+c)^{n}}}\,;$ et de là la probabilité que l’erreur moyenne sera renfermée entre ces limites $-{\frac {p}{n}},+{\frac {q}{n}}$ sera exprimée par la série

${\frac {(-p+1)+\ldots +(-1)+(0)+(1)+\ldots +(q-1)}{(a+b+c)^{n}}}.$

Problème IV.

14. Supposant tout, comme dans le Problème précédent, on demande quelle est l’erreur moyenne pour laquelle la probabilité est la plus grande.

Nous avons vu que la probabilité que l’erreur moyenne soit ${\frac {\mu }{n}}$ est ${\frac {(\mu )}{(a+b+c)^{n}}},$ $(\mu )$ étant le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ du trinôme $\left(a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}\right)^{n}\,;$ ainsi il ne s’agit que de savoir quel est le terme de la puissance $n$^ième de $a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}$ qui aura le plus grand coefficient ; pour