Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/201

sorte que cette ordonnée soit un diamètre de la courbe dont il s’agit, alors la correction sera nulle, le centre de gravité tombant nécessairement dans le diamètre. Ce cas a lieu toutes les fois que les erreurs peuvent être également positives et négatives.

Problème VI.

19. Je suppose qu’on ait vérifié un instrument quelconque, et qu’ayant réitéré plusieurs fois la même vérification on ait trouvé différentes erreurs, dont chacune se trouve répétée un certain nombre de fois ; on demande quelle est l’erreur qu’il faudra prendre pour la correction de l’instrument.

Soient $p,q,r,\ldots$ les erreurs trouvées, et soient $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les nombres qui marquent combien de fois chaque erreur s’est trouvée répétée en faisant $n$ vérifications ; supposons que le nombre des cas qui peuvent donner l’erreur $p,$ ou $q,$ ou $r,\ldots$ soit désigné respectivement par $a,b,c,\ldots \,;$ qu’on élève le polyônme

$ax^{p}+bx^{q}+cx^{r}+\ldots$

à la puissance $n,$ et soit

$\mathrm {N} \left(ax^{p}\right)^{\alpha }\left(bx^{q}\right)^{\beta }\left(cx^{r}\right)^{\gamma }\ldots$

un terme quelconque de ce polynôme : le coefficient $\mathrm {N} a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots$ de la puissance $p\alpha +q\beta +r\gamma +\ldots$ de $x$ divisé par $(a+b+c+\ldots )^{n}$ dénotera la probabilité que les erreurs $p,q,r,\ldots$ se trouvent combinées ensemble, de manière que $p$ soit répété $\alpha$ fois, $q$ $\beta$ fois, $r$ $\gamma$ fois, et ainsi des autres. Ainsi cette probabilité sera la plus grande dans la combinaison où la valeur de $\mathrm {N} a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots$ sera la plus grande ; mais on a

$\mathrm {N} ={\frac {1.2.3\ldots n}{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1.2.3\ldots \gamma \times \ldots }},$

comme nous l’avons déjà vu dans le Problème précédent ; donc, par le