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Or, puisque la quantité $\mu$ n’entre que dans la valeur de $\pi ,$ il n’y aura donc que cette quantité de variable ; de sorte que la difficulté se réduira à sommer des suites dont le terme général sera de cette forme

$(s+1)(s+2)(s+3)\ldots (s+k).$

Pour cela, soit la somme de cette série représentée par

$u(s+1)(s+2)\ldots (s+k),$

$u$ étant une fonction inconnue de $s,$ et mettant $s-1$ à la place de $s$ et $u'$ à la place de $u,$ on aura

$u's(s+1)(s+2)\ldots (s+k-1)\,;$

cette quantité étant retranchée de la précédente, on aura la différence

$\left[u(s+k)-u's\right](s+1)(s+2)\ldots (s+k-1)\,;$

mais il faut que cette différence soit égale au terme général de la série dont on cherche la somme, donc on aura l’équation

$u(s+k)-u's=s+k,$

à laquelle on satisfera en faisant

$u={\frac {s+k+1}{k+1}}\,;$

de sorte que la somme générale de la série dont le terme général est $(s+1)(s+2)\ldots (s+k)$ sera représentée par

${\frac {(s+1)(s+2)\ldots (s+k)(s+k+1)}{k+1}},$

et par conséquent la somme de tous les termes compris entre ces deux-ci

$(s'+1)(s'+2)\ldots (s'+k)\quad {\text{et}}\quad (s''+1)(s''+2)\ldots (s''+k)$