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que l’erreur du résultat moyen de $n$ observations sera ${\frac {\mu }{n}},$ ou quelle sera renfermée entre ces limites ${\frac {-p}{n}}$ et ${\frac {+q}{n}}.$

Pour trouver la probabilité que le résultat moyen soit ${\frac {\mu }{n}},$ il faut chercher le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ du polynôme

$x^{-\alpha }+\ldots +x^{-2}+x^{-1}+x^{0}+x^{1}+x^{2}+\ldots ++x^{\beta }$

élevé à la puissance $n,$ et diviser ensuite ce coefficient par la valeur du même polynôme élevé à la puissance $n,$ qui répond à $x=1,$ c’est-à-dire par $(\alpha +\beta +1)^{n}\,;$ c’est ce qui suitévidemment de ce que nous avons démontré dans les Problèmes précédents.

Donc, par le Corollaire précédent, on trouvera que la probabilité cherchée sera, en faisant $\pi =n\alpha +\mu ,\ \rho =\alpha +\beta +1,$

${\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)\rho ^{n}}}$

${\begin{aligned}\times &{\biggl [}(\pi +1)(\pi +2)\ldots (\pi +n-1){\biggr .}\\&\quad -n(\pi +1-\rho )(\pi +2-\rho )\ldots (\pi +n-1-\rho )\\&\quad +{\frac {n(n-1)}{2}}(\pi +1-2\rho )(\pi +2-2\rho )\ldots (\pi +n-1-2\rho )\\&\quad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]},\end{aligned}}$

en continuant cette série jusqu’à ce que quelqu’un des facteurs $\pi +1,$ $\pi +1-\rho ,\ldots$ devienne négatif.

Telle est l’expression générale de la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations soit ${\frac {\mu }{n}}\,;$ ainsi, pour avoir la probabilité que l’erreur soit contenue entre les limites ${\frac {-p}{n}}$ et ${\frac {+q}{n}},$ il n’y aura qu’à faire varier $\mu$ dans la quantité précédente, et prendre la somme de toutes les quantités particulières qui répondront à

$\mu =-p,\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots ,q.$