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de sorte qu’en substituant ces valeurs dans la formule précédente, et négligeant ce qu’on doit négliger à cause de $\alpha =\infty ,$ on aura celle-ci, où $f=1+l,$

${\frac {1}{1.2.3\ldots nf^{n}}}$

${\begin{aligned}\times &{\biggl [}(n+s)^{n}-n(n+s-f)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}n(n+s-2f)^{n}-\ldots {\biggr .}\\&\quad {\biggl .}-(n-r)^{n}-n(n-r-f)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}n(n-r-2f)^{n}+\ldots {\biggr ]},\end{aligned}}$

chacune de ces deux séries devant être-continuée seulement jusqu’à ce que quelqu’une des quantités $n+s-f,\ n+s-2f,\ldots$ et $n-r-f,$$n-r-2f,\ldots$ devienne négative.

Le cas de ce Corollaire a lieu lorsqu’on suppose que chaque observation est également sujette à toutes les erreurs possibles comprises entre des limites données ; car si on prend la plus grande erreur négative pour l’unité, et qu’on désigne la plus grande erreur positive par $l,$ la formule précédente dénotera la probabilité que l’erreur du résultat moyen de $n$ observations soit renfermée entre ces deux limites $-{\frac {r}{n}}$ et $+{\frac {s}{n}}.$

Au reste, nous donnerons plus bas une méthode beaucoup plus simple pour résoudre ces sortes de questions.

Problème VIII.

28. Supposant que les erreurs qu’on peut commettre dans chaque observation soient $-\omega ,\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots ,\omega ,$ et que le nombre des cas qui répondent à chacune de ces erreurs soit respectivement proportionnel à $1,2,3,\ldots ,\alpha +1,\ldots ,3,2,1,$ on demande quelle est la probabilité que l’erreur du résultat moyen de $m$ observations soit comprise entre les limites ${\frac {-p}{m}}$ et ${\frac {q}{m}}.$

Commençons par chercher la probabilité que l’erreur moyenne soit ${\frac {\mu }{m}}\,;$ cette probabilité sera égale au coefficient de la puissance $x^{\mu }$ du polynôme

$x^{-\omega }+2x^{-\omega +1}+\ldots +\omega x^{-1}+(\omega +1)x^{0}+\omega x^{1}+\ldots +2x^{\omega -1}+x^{\omega }$