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exprimée par

${\frac {1}{1.2.3\ldots 2m\rho ^{2m}}}$

${\begin{aligned}\times &{\biggl [}\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +2m-1)-(\delta +1)(\delta +2)\ldots (\delta +2m){\biggr .}\\&\quad -2m\left[(\gamma -\rho )\ldots (\gamma +2m-1-\rho )-(\delta +1-\rho )\ldots (\delta +2m-\rho )\right]\\&\quad +{\frac {2m(2m-1)}{2}}\\&\qquad \times \left[(\gamma -2\rho )\ldots (\gamma +2m-1-2\rho )-(\delta +1-2\rho )\ldots (\delta +2m-2\rho )\right]\\&\qquad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]},\end{aligned}}$

$\gamma$ étant $=m\omega +q$ et $\delta =m\omega -p.$ À l’égard de la continuation de ces deux séries, il faudra suivre les règles prescrites plus haut (24).

29. Corollaire. — Supposons maintenant que les nombres $\omega ,p$ et $q$ deviennent infinis, mais en sorte que l’on ait ${\frac {p}{\omega }}=r,\ {\frac {q}{\omega }}=s,$ $r$ et $s$ étant des nombres finis, et la formule précédente deviendra (25)

${\begin{aligned}&{\frac {(2m+s)^{2m}-2m\left[2(m-1)+s\right]^{2m}+{\cfrac {2m(2m-1)}{2}}\left[2(m-2)+s\right]^{2m}-\ldots }{1.2.3\ldots 2m.2^{2m}}},\\-&{\frac {(2m-r)^{2m}-2m\left[2(m-1)-r\right]^{2m}+{\cfrac {2m(2m-1)}{2}}\left[2(m-2)-r\right]^{2m}-\ldots }{1.2.3\ldots 2m.2^{2m}}},\end{aligned}}$

ces deux séries étant continuées jusqu’à ce que quelqu’une des quantités qui sont élevées à la puissance $2n$ devienne négative.

Cette formule exprimera donc la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations soit comprise entre les limites ${\frac {-r}{n}}$ et ${\frac {s}{n}},$ dans l’hypothèse que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs possibles contenues entre ces deux limites $-1$ et $+1,$ et que la facilité de chaque erreur soit proportionnelle à la différence qu’il y a entre cette erreur et la plus grande erreur possible dans le même sens ; cette hypothèse est plus conforme à la nature que celle du n^o 27 ; la courbe des erreurs (20) serait ici un triangle isocèle quelconque.

30. Scolie. — En général, on pourra trouver, à l’aide du Lemme précédent, la probabilité que l’erreur moyenne soit égale à une quantité