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donc, multipliant par $\mathrm {Q} dq,$ et intégrant, en regardant $p$ comme constant, on aura

$\mathrm {\frac {X-Y}{Q}} =\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\psi (p),$

$\psi (p)$ dénotant une autre fonction quelconque de $p\,;$ donc on aura

$\mathrm {X-Y=Q} \left[\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\psi (p)\right].$

Si cette condition a lieu, alors on aura

${\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {P} dp}{dt}}\right)^{2}}{dp}}=2\varphi (p)\,;$

donc, en multipliant par $dp$ et intégrant,

$\left({\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}\right)^{2}=\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (p)dp,$

$\mathrm {G}$ étant une constante quelconque ; d’où l’on tire

${\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}={\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (p)dp}}\,;$

mais

${\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}=\mathrm {\frac {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}}{T}} =\mathrm {\frac {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}}{PQ}} \,;$

donc, substituant cette valeur, on aura

$\mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}=Q} {\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (p)dp}}\,:$

c’est l’intégrale de l’équation proposée ${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}.$

16. Voyons à présent quelle doit être la nature des quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ pour que l’équation de condition

$\mathrm {X-Y=Q} \left[\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\psi (p)\right]$