donc, multipliant par
et intégrant, en regardant
comme constant, on aura
![{\displaystyle \mathrm {\frac {X-Y}{Q}} =\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\psi (p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341eaffe3ffbf971d79d372878b449df2b1e7138)
dénotant une autre fonction quelconque de
donc on aura
![{\displaystyle \mathrm {X-Y=Q} \left[\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\psi (p)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925835688e898bad2fcf1a11eb0c9fd36b2ca99b)
Si cette condition a lieu, alors on aura
![{\displaystyle {\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {P} dp}{dt}}\right)^{2}}{dp}}=2\varphi (p)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d233abcdefb849825cde1d7cb32adc23733dd677)
donc, en multipliant par
et intégrant,
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}\right)^{2}=\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (p)dp,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa136c6fdfb0b232a7359277114d323e630c7fc)
étant une constante quelconque ; d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}={\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (p)dp}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df729dfe7e6f13e1184d8b22585c459b5e33eaba)
mais
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}=\mathrm {\frac {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}}{T}} =\mathrm {\frac {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}}{PQ}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07666312c31aa723d0c16dc15a7a528bad6e177b)
donc, substituant cette valeur, on aura
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}=Q} {\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (p)dp}}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4489b0df87d8ee10a655bcec5361b025f315c7c6)
c’est l’intégrale de l’équation proposée ![{\displaystyle {\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6575137f25b0173abcd10f80582514af31daae5)
16. Voyons à présent quelle doit être la nature des quantités
et
pour que l’équation de condition
![{\displaystyle \mathrm {X-Y=Q} \left[\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\psi (p)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40065e194c5d419ed91d8deda28ab732c7c6e0f7)