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de sorte qu’en ne considérant que la variabilité de $q$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} '&={\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=2{\frac {d\mathrm {X} }{dq}},\\\mathrm {Y} '&={\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}=-2{\frac {d\mathrm {Y} }{dq}}\,;\end{aligned}}$

de plus on a

$\mathrm {M} ={\frac {d\mathrm {T} }{dp}},\qquad \mathrm {N} ={\frac {d\mathrm {T} }{dq}}\,;$

donc, faisant ces substitutions dans l’équation précédente, elle se réduira à cette forme

${\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {T} dp}{dt}}\right)^{2}}{dp}}=2\mathrm {T} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X-Y}{T}} \right)}{dq}}.$^[1]

Or, pour qu’on puisse tirer de cette équation la valeur de ${\frac {dp}{dt}},$ de il faut faire en sorte qu’elle ne contienne que les seules variables $p$ et $q\,;$ c’est ce qu’on ne saurait obtenir, ce me semble, qu’en faisant :

1^o $\mathrm {T=PQ} ,$ $\mathrm {P}$ étant une fonction quelconque de $p$ et $\mathrm {Q}$ une fonction quelconque de $q,$ pour avoir, en divisant par $\mathrm {Q} ^{2},$

${\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {P} dp}{dt}}\right)^{2}}{dp}}={\frac {2}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X-Y}{Q}} \right)}{dq}}\,;$

2^o Il faudra que l’on ait

${\frac {1}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X-Y}{Q}} \right)}{dq}}=\operatorname {fonct} .p.$

Supposons donc que $\varphi (p)$ représente une fonction quelconque de $p,$ on aura

${\frac {1}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X-Y}{Q}} \right)}{dq}}=\varphi (p)\,;$

1. Ce sont les dérivées partielles des fonctions $\left(\mathrm {T} {\frac {dp}{dt}}\right)^{2}$ et $\mathrm {\frac {X-Y}{T}}$ par rapport à $p$ et $q$ respectivement, qui figurent dans cette équation ; il faut supposer que ${\frac {dp}{dt}}$ soit exprimée en fonction de la seule variable $p.\qquad \qquad \qquad$ (Note de l’ÉdIteur.}