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et positif, on aura donc

$\int x^{m}a^{x}dx=a^{x}\left[{\frac {x^{m}}{\log a}}-{\frac {mx^{m-1}}{(\log a)^{2}}}+{\frac {m(m-1)x^{m-2}}{(\log a)^{3}}}-\ldots \right.$

$\left.\pm {\frac {m(m-1)(m-2)\ldots 2.1}{(\log a)^{m+1}}}\right]+\mathrm {const} .$

Qu’on prenne l’intégrale $\int x^{m}a^{x}dx$ en sorte qu’elle soit nulle lorsque $x=0,$ et l’on aura

$\int x^{m}a^{x}dx=a^{x}\left[{\frac {x^{m}}{\log a}}-{\frac {mx^{m-1}}{(\log a)^{2}}}+\ldots +(-1)^{m}{\frac {1.2.3\ldots m}{(\log a)^{m+1}}}\right].$

Or, si l’on suppose que $a$ soit une fraction moindre que l’unité, en sorte que ${\frac {1}{a}}$ soit un nombre plus grand que l’unité, et qu’on fasse $x=\infty ,$ il est facile de voir que $\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}$ sera une quantité infinie d’un ordre infiniment plus grand que $x^{m}$ et qu’aucune puissance finie de $x\,;$ donc ${\frac {x^{m}}{\left({\cfrac {1}{a}}\right)^{x}}}$ ou bien $a^{x}x^{m}$ sera nulle, et, à plus forte raison aussi, toutes les autres quantités $a^{x}x^{m-1},a^{x}x^{m-2},\ldots$ seront nulles, de sorte qu’on aura dans ces cas

$\int x^{m}a^{x}dx={\frac {1.2.3\ldots m}{(-\log a)^{m+1}}}.$

D’où je conclus que la quantité ${\frac {1}{(-\log a)^{m}}}$ est égale à l’intégrale de $x^{m-1}a^{x}dx$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ et divisée par $1.2.3\ldots (m-1),$ pourvu que $a$ soit un nombre positif moindre que l’unité.

Si $a$ était un nombre positif plus grand que l’unité, il n’y aurait qu’à mettre ${\frac {1}{a}}$ à la place de $x$ dans la formule précédente, et l’on en conclurait que la quantité ${\frac {1}{(\log a)^{m}}}$ serait égale à l’intégrale de ${\frac {x^{m-1}dx}{a^{x}}}$ prise de même depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ et divisée par $1.2.3\ldots (m-1)\,;$ on voit par là comment on peut réduire les puissances quelconques de ${\frac {1}{\log a}}$ en des séries infinies qui procèdent suivant les puissances de $a.$