Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/226

36. Corollaire II. — Donc, si l’on a une fonction quelconque, rationnelle et sans diviseur, de $a$ telle que

$\mathrm {A} =\mathrm {P} a^{p}+\mathrm {Q} a^{p-1}+\mathrm {R} a^{p-2}+\ldots ,$

et qu’on demande le coefficient de la puissance $a^{p-x}$ dans la fonction ${\frac {\mathrm {A} }{(\log a)^{m}}},$ il n’y aura qu’à mettre, à la place de ${\frac {1}{(\log a)^{m}}}$ la somme des valeurs de ${\frac {x^{m-1}dx}{a^{x}}}$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ divisée par $1.2.3\ldots (m-1)$ (Corollaire précédent), et rassemblant tous les termes où $a$ se trouvera élevé à la puissance donnée, on aura pour le coefficient de cette puissance la série

${\frac {\mathrm {P} x^{m-1}+\mathrm {Q} (x-1)^{m-1}+\mathrm {R} (x-2)^{m-2}+\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)}}dx,$

laquelle ne devra être continuée que jusqu’à ce que quelqu’un des termes $x-1,x-2,\ldots$ devienne négatif ; et comme ce coefficient ne dépend point de la valeur de $a,$ il est clair que la formule que nous venons de trouver aura toujours lieu, soit que $a$ soit plus grand ou moindre que l’unité.

Si, au lieu de la fonction ${\frac {\mathrm {A} }{(\log a)^{m}}},$ on avait celle-ci

${\frac {\mathrm {A} }{(\log a-\alpha )^{m}}},$

comme $\log a-\alpha =\log {\frac {a}{e^{\alpha }}},$ il faudrait substituer à la place de ${\frac {1}{(\log a-\alpha )^{m}}}$ la somme des valeurs de ${\frac {e^{\alpha x}x^{m-1}dx}{a^{x}}}$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ divisée par $1.2.3\ldots (m-1),$ et l’on aurait pour le coefficient de $a^{p-x}$ la série

${\frac {\mathrm {P} e^{\alpha x}x^{m-1}+\mathrm {Q} e^{\alpha (x-1)}(x-1)^{m-1}+\mathrm {R} e^{\alpha (x-2)}(x-2)^{m-2}+\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)}}dx.$

Enfin, si l’on avait la fonction

${\frac {\mathrm {A} }{(\log a-\alpha )^{m}(\log a-\beta )^{n}\ldots }},$