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Donc

$2\int \varphi (p)dp=\delta p+\varepsilon p^{2}\,;$

de sorte que l’intégrale de l’équation sera dans ce cas

$\mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}} =q{\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta p+\varepsilon p^{2}}}.$

C’est le cas que nous avons déjà examiné (n^o 12).

Au reste on voit par là que les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ne sauraient contenir d’autres puissances de $x$ et de $y$ que celles qui ne passent point le quatrième degré.

17. Supposons maintenant en général

$\mathrm {X} =\Phi (2x),\qquad \mathrm {Y} =\Psi (2y),$

en sorte que l’on ait

$\mathrm {X} =\Phi (p+q),\qquad \mathrm {Y} =\Psi (p-q),$

et l’équation de condition sera

$\Phi (p+q)-\Psi (p-q)=\mathrm {Q} \left[\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\Psi (p)\right]\,;$

soient différentiés les deux membres de cette équation deux fois de suite en faisant varier $p$ seulement, on aura

$\Phi ''(p+q)-\Psi ''(p-q)=\mathrm {Q} \left[\varphi ''(p)\int \mathrm {Q} dq+\Psi ''(p)\right]\,;$

soient ensuite différentiés les deux membres deux fois, en faisant varier $q$ seulement, nous aurons

$\Phi ''(p+q)-\Psi ''(p-q)=\varphi (p){\frac {d^{2}\left(\mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq\right)}{dq^{2}}}+\psi (p){\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dq^{2}}}\,;$

donc

$\mathrm {Q} \psi ''p+\mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq\times \varphi ''(p)={\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dq^{2}}}\psi (p)+{\frac {d^{2}\left(\mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq\right)}{dq^{2}}}\varphi (p).$

Cette équation devant être identique, je supposerai d’abord

${\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dq^{2}}}=-m^{2}\mathrm {Q} ,$