Donc
![{\displaystyle 2\int \varphi (p)dp=\delta p+\varepsilon p^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c928dcee8c9a7f3e051e45a290532be2e954a220)
de sorte que l’intégrale de l’équation sera dans ce cas
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}} =q{\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta p+\varepsilon p^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ccaad27e6fd7b7272a6f682c8248aafdc345ac3)
C’est le cas que nous avons déjà examiné (no 12).
Au reste on voit par là que les quantités
et
ne sauraient contenir d’autres puissances de
et de
que celles qui ne passent point le quatrième degré.
17. Supposons maintenant en général
![{\displaystyle \mathrm {X} =\Phi (2x),\qquad \mathrm {Y} =\Psi (2y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8517f2fb1c324b63e73dcb881ad1c36c87062da4)
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {X} =\Phi (p+q),\qquad \mathrm {Y} =\Psi (p-q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb239e6d2c05d2e5de8a5b47f3b48f1e43f2b70)
et l’équation de condition sera
![{\displaystyle \Phi (p+q)-\Psi (p-q)=\mathrm {Q} \left[\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\Psi (p)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55f6c93d925ffd3e8ad7198c2be933283f1f677)
soient différentiés les deux membres de cette équation deux fois de suite en faisant varier
seulement, on aura
![{\displaystyle \Phi ''(p+q)-\Psi ''(p-q)=\mathrm {Q} \left[\varphi ''(p)\int \mathrm {Q} dq+\Psi ''(p)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c099744ff05b42caa640fd8d69830268c952a27)
soient ensuite différentiés les deux membres deux fois, en faisant varier
seulement, nous aurons
![{\displaystyle \Phi ''(p+q)-\Psi ''(p-q)=\varphi (p){\frac {d^{2}\left(\mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq\right)}{dq^{2}}}+\psi (p){\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dq^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c23e29a2b612fb912d886e01fa290f9d5ed04e3)
donc
![{\displaystyle \mathrm {Q} \psi ''p+\mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq\times \varphi ''(p)={\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dq^{2}}}\psi (p)+{\frac {d^{2}\left(\mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq\right)}{dq^{2}}}\varphi (p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca17ccf99e6e1eac7f7820bd8644a8698cec0d34)
Cette équation devant être identique, je supposerai d’abord
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dq^{2}}}=-m^{2}\mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72d7bf6b2a570d361117aab131dc1c731750be9)