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$m$ étant un coefficient constant quelconque, d’où l’on a, en intégrant,

$\mathrm {Q=A} \sin(mq+\alpha ),$

$\mathrm {A}$ et $\alpha$ étant aussi des constantes quelconques, et par conséquent, en intégrant de nouveau,

$\int \mathrm {Q} dq=-{\frac {\mathrm {A} }{m}}\cos(mq+\alpha )$

et

$\mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq=-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2m}}\sin 2(mq+\alpha )\,;$

de sorte que l’équation précédente deviendra

$\mathrm {A} \sin(mq+\alpha )\left[\psi ''(p)+m^{2}\psi (p)\right]-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2m}}\sin 2(mq+\alpha )\left[\varphi ''(p)+4m^{2}\varphi (p)\right]=0,$

laquelle devant être vraie, indépendamment d’aucune équation entre $q$ et $p,$ il faudra que l’on ait

$\psi ''(p)+m^{2}\psi (p)=0,\qquad \varphi ''(p)+4m^{2}\varphi (p)=0\,;$

ce qui donne, en prenant des constantes quelconques $\mathrm {B} ,\beta$ et $\mathrm {C} ,\gamma ,$

${\begin{aligned}\psi (p)=&\mathrm {B} \sin(mp+\beta ),\\\varphi (p)=&\mathrm {C} \sin(mp+\gamma ).\end{aligned}}$

Substituant donc toutes ces valeurs dans l’équation de condition trouvée ci-dessus, on aura

${\begin{aligned}\Phi &(p+q)-\Psi (p-q)\\&=\mathrm {AB} \sin(mp+\beta )\sin(mq+\alpha )-{\frac {\mathrm {A^{2}C} }{2m}}\sin 2(mp+\gamma )\sin 2(mq+\alpha )\\&\qquad -\mathrm {\frac {AB}{2}} \left\{\cos \left[m(p+q)+\beta +\alpha \right]-\cos \left[m(p-q)+\beta -\alpha \right]\right\}\\&\qquad +{\frac {\mathrm {A^{2}C} }{2m}}\left\{\cos 2\left[m(p+q)+\gamma +\alpha \right]-\cos 2\left[m(p-q)+\gamma -\alpha \right]\right\}.\end{aligned}}$

Donc, faisant pour plus de simplicité $-\mathrm {\frac {AB}{2}} =b,\ {\frac {\mathrm {A^{2}C} }{2m}}=c,$ et prenant