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essentiellement irrationnelle ; mais ce moyen n’est vraiment utile qu’autant qu’on peut rendre les séries toujours convergentes, et diminuer même à volonté l’erreur qui doit résulter des termes qu’on y néglige.

La méthode que je donne dans ce Mémoire joint à cet avantage celui d’être générale pour toutes les formules différentielles qui contiennent un radical carré, dans lequel la variable ne forme pas plus de quatre dimensions. Je commence par exposer la méthode dans toute son étendue ; j’en fais ensuite l’application à la rectification de l’ellipse et de l’hyperbole.

Exposition de la méthode.

1. Soit proposée la formule différentielle $\mathrm {P} dx,$ dans laquelle $\mathrm {P}$ soit une fonction quelconque rationnelle de $x$ et d’un radical de la forme

${\sqrt {a+bx+cx^{2}+ex^{3}+fx^{4}}},$

que nous dénoterons, pour abréger, par $\mathrm {R} .$ Puisque $\mathrm {R} ^{2}$ est une fonction rationnelle de $x,$ il est clair que $\mathrm {P}$ ne peut être que de la forme

$\mathrm {\frac {A+BR}{C+DR}} ,$

où $\mathrm {A,B,C,D}$ sont des fonctions rationnelles de $x.$ Multipliant le haut et le bas par $\mathrm {C-DR} ,$ et faisant

$\mathrm {M={\frac {AC-BDR^{2}}{C^{2}-DR^{2}}},\quad N={\frac {(BC-AD)R^{2}}{C^{2}-DR^{2}}}} ,$

on aura donc

$\mathrm {P=M+{\frac {N}{R}}} ,$

où $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont des fonctions rationnelles de $x.$ De sorte que la différentielle proposée $\mathrm {P} dx$ se trouvera partagée en deux parties, l’une toute rationnelle $\mathrm {M} dx,$ et qui s’intégrera par les logarithmes ou les arcs de cercle ; l’autre irrationnelle ${\frac {\mathrm {N} dx}{\mathrm {R} }},$ dans laquelle il n’y aura d’autre irra-