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une constante quelconque $a,$ on aura

${\begin{aligned}\Phi (p+q)=&a+b\cos \left[m(p+q)+\beta +\alpha \right]+c\cos 2\left[m(p+q)+\gamma +\alpha \right],\\\Psi (p-q)=&a+b\cos \left[m(p-q)+\beta -\alpha \right]+c\cos 2\left[m(p-q)+\gamma -\alpha \right]\,;\end{aligned}}$

donc, en mettant $2x$ à la place de $p+q,$ $2y$ à la place de $p-q,$ et $n$ à la place de $2m,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&a+b\cos(nx+\beta +\alpha )+c\cos 2(nx+\gamma +\alpha ),\\\mathrm {Y} =&a+b\cos(ny+\beta -\alpha )+c\cos 2(ny+\gamma -\alpha ).\end{aligned}}$

Ce sont, ce me semble, les valeurs les plus générales que l’on puisse donner aux quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ pour que l’équation ${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}$ soit intégrable par notre méthode ; et l’intégrale sera

$\mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}=A} \sin(mq+\alpha ){\sqrt {\mathrm {G} ^{2}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\cos 2(mp+\gamma )}},$

ou bien, en mettant ${\frac {2c}{\mathrm {A} ^{2}}}$ au lieu de ${\frac {\mathrm {C} }{m}},$ et faisant $\mathrm {G^{2}={\frac {H^{2}}{A^{2}}}} ,$

$\mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}} =\sin \left[{\frac {n(x-y)}{2}}+\alpha \right]{\sqrt {H^{2}-2c\cos \left[n(x+y)+2\gamma \right]}}.$

18. Soit fait

${\begin{aligned}\cos nx+\sin nx{\sqrt {-1}}=&u,\\\cos ny+\sin ny{\sqrt {-1}}=&v,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{alignedat}{2}\cos nx\ \ =&{\frac {1+u^{2}}{2u}},&\sin nx\ \ =&{\frac {1-u^{2}}{2u}}{\sqrt {-1}},\\\cos 2nx=&{\frac {1+u^{4}}{2u^{2}}},\qquad &\sin 2nx=&{\frac {1-u^{4}}{2u^{2}}}{\sqrt {-1}},\end{alignedat}}$

et de même

${\begin{alignedat}{2}\cos ny\ \ =&{\frac {1+v^{2}}{2v}},&\sin ny\ \ =&{\frac {1-v^{2}}{2v}}{\sqrt {-1}},\\\cos 2ny=&{\frac {1+v^{4}}{2v^{2}}},\qquad &\sin 2ny=&{\frac {1-v^{4}}{2v^{2}}}{\sqrt {-1}},\end{alignedat}}$