et
(I)
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on aura l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}=\varphi (\mathrm {Z} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5665a5a5d77ffc6a459560f69e1e5df688b0c032)
laquelle, étant multipliée par
et ensuite intégrée, donnera
![{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\right)^{2}=\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca525e7fd9a50c9985940cf98e8f1f064817924)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}={\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7336d273b858789859698db96413e2398ba570ab)
mais
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {\mathrm {Z} } }{dt}}={\frac {\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy}{dt}}=\mathrm {\frac {P{\sqrt {X}}+Q{\sqrt {Y}}}{T}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8de34cbfc567f8e66fc9c1a0219a82477b9c70f)
donc en faisant
![{\displaystyle \int \varphi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} =\Phi (\mathrm {Z} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d34aeaf0a94a67161bb84a3f70c82fff39d844c)
l’intégrale de l’équation
sera
![{\displaystyle \mathrm {P{\sqrt {X}}+Q{\sqrt {Y}}=T{\sqrt {G^{2}+2\int \Phi (Z)}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9758e901956416cc9a099d21a869243514fd92)
étant la constante arbitraire.
20. Toute la difficulté se réduit donc à déterminer les quantités
et
en sorte que les équations (H) et (I) aient lieu.
Si l’on fait
l’équation (H) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {P} {\frac {du}{dy}}+\mathrm {Q} {\frac {du}{dx}}=2{\frac {d\mathrm {P} }{dy}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9625931e0e4ff9246854eceb3abd22699c519f2)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {du}{dy}}={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}-\mathrm {\frac {Q}{P}} {\frac {du}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9e14c343e7cd4933e33cd622ad94a450867f12)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle du={\frac {du}{dx}}dx+{\frac {du}{dy}}dy={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+\left(dx-{\frac {\mathrm {Q} dy}{\mathrm {P} }}\right){\frac {du}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e6a47aba97a69aba390784a118ea7f785d6ecc)