Soit
le facteur par lequel il faudrait multiplier la différentielle
pour la rendre intégrable, en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {R} (\mathrm {P} dx-\mathrm {Q} dy)=dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e74b66d2029f8af1cba0f0cb53f5c513d234e6)
et l’on aura
![{\displaystyle du={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+\mathrm {\frac {1}{RP}} {\frac {du}{dx}}dz\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c28cbc791157a3136d92122c642e99da433579f)
donc, regardant
comme une fonction de
et
et supposant
constant, on aura
![{\displaystyle du={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82f120fed4bc56e28f4572d1c8d7af52eafb6da)
et par conséquent
![{\displaystyle u=2\int {\frac {1}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+\psi (z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75500d16653959dbe49e15700ff92edb90be01ad)
en prenant l’intégrale
dans la supposition de
constante : donc, puisque
si l’on fait aussi
![{\displaystyle \psi (z)=\log \Psi (z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc3b6d8c4f24d7e12511544426b26bbfa7866e5)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} =\Psi (z)e^{2\int {\frac {1}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659262c20cd017557d0bf71fc3a77ed0dcaaeae8)
dénotant une fonction quelconque de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Ayant ainsi déterminé la quantité
il ne restera plus qu’a satisfaire à l’équation (I) qui peut se réduire à cette forme plus simple :
(K)
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21. Supposons que
soit une fonction de
seul, et
une fonction de
seul, en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {Z} =\int \mathrm {P} dx+\int \mathrm {Q} dy\quad {\text{et}}\quad z=\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59f50d50b1ebfeb7fd77e0e5190168fabc975d0)
et l’on aura d’abord, à cause de ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {P} }{dy}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a377fc225d0867b95219d43c2e5d7a4108635e)
![{\displaystyle \mathrm {T} =\Psi \left(\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbf0113885e6dc709525da72c5fd170ea128a0e)