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Soit $\mathrm {R}$ le facteur par lequel il faudrait multiplier la différentielle $\mathrm {P} dx-\mathrm {Q} dy$ pour la rendre intégrable, en sorte que l’on ait

$\mathrm {R} (\mathrm {P} dx-\mathrm {Q} dy)=dz,$

et l’on aura

$du={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+\mathrm {\frac {1}{RP}} {\frac {du}{dx}}dz\,;$

donc, regardant $u$ comme une fonction de $y$ et $z,$ et supposant $z$ constant, on aura

$du={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy,$

et par conséquent

$u=2\int {\frac {1}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+\psi (z),$

en prenant l’intégrale $\int {\frac {1}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy$ dans la supposition de $z$ constante : donc, puisque $u=\log \mathrm {T} ,$ si l’on fait aussi

$\psi (z)=\log \Psi (z),$

on aura

$\mathrm {T} =\Psi (z)e^{2\int {\frac {1}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy},$

$\Psi (z)$ dénotant une fonction quelconque de $z.$

Ayant ainsi déterminé la quantité $\mathrm {T} ,$ il ne restera plus qu’a satisfaire à l’équation (I) qui peut se réduire à cette forme plus simple :

(K)

$\mathrm {\frac {1}{P}} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {P^{2}X}{T^{2}}} \right)}{dx}}+\mathrm {\frac {1}{Q}} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Q^{2}Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}=2\varphi (\mathrm {Z} ).$

21. Supposons que $\mathrm {P}$ soit une fonction de $x$ seul, et $\mathrm {Q}$ une fonction de $y$ seul, en sorte que l’on ait

$\mathrm {Z} =\int \mathrm {P} dx+\int \mathrm {Q} dy\quad {\text{et}}\quad z=\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy,$

et l’on aura d’abord, à cause de ${\frac {d\mathrm {P} }{dy}}=0,$

$\mathrm {T} =\Psi \left(\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy\right)\,;$