dant comme une fonction quelconque de l’espace et de la vitesse ? Voilà le Problème qu’il faut résoudre pour avoir une théorie générale et complète des tautochrones. M’étant occupé de ce Problème, voici la solution que j’en ai trouvée, et qui est, si je ne me trompe, générale et nouvelle.
Soient la vitesse du corps en un point quelconque de la ligne qu’il décrit, sa force accélératrice dans ce point, l’espace qu’il a encore à parcourir, et l’espace total depuis le point d’où le corps est parti jusqu’à celui où il doit arriver ; on aura, comme on sait (à cause que, croissant, diminue), l’équation
Et le temps que le corps doit employer à parcourir l’espace sera exprimé par de sorte qu’en faisant, après l’intégration, on aura le temps total depuis le commencement du mouvement jusqu’à la fin. Or, ce temps doit être indépendant de l’espace parcouru par la nature du Problème ; donc il faut que la valeur de soit telle, qu’en faisant s’évanouisse entièrement.
Soient une fonction quelconque de et une pareille fonction de il est clair que la condition dont il s’agit aura lieu si, en faisant et substituant la valeur de tirée de cette équation dans la formule cette substitution y fait disparaître la quantité et la réduit à n’être qu’une fonction de car alors la supposition de donnera et par conséquent de sorte que la formule aura dans ce cas une valeur déterminée et indépendante de Donc, si l’on différentie cette formule en faisant varier et qu’ensuite on suppose ( étant une fonction de ou et une pareille fonction de ou ), et qu’on mette à la place de sa valeur
