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que l’expression générale du temps $\int {\frac {dx}{u}}$ devienne égale à une fonction de dimension nulle de deux quantités quelconques, l’une constante $\mathrm {A}$ et l’autre variable $\mathrm {X} ,$ telles qu’en faisant $\mathrm {X=A}$ on ait le temps total depuis le commencement du mouvement jusqu’à sa fin. Car alors la quantité $\mathrm {A} ,$ qui dépend de l’arc total que le corps doit parcourir, s’évanouit nécessairement de la formule $\int {\frac {dx}{u}},$ lorsque $\mathrm {X=A} ,$ et par conséquent l’expression du temps se trouve entièrement indépendante de la longueur de cet arc. Or, pour cela il suffit que la quantité différentielle ${\frac {dx}{u}}$ soit elle-même une fonction de dimension nulle de $\mathrm {X}$ et de $\mathrm {A} ,$ comme par exemple ${\frac {d\mathrm {P} }{\mathrm {\sqrt {A^{2}-P^{2}}} }}$ et d’autres semblables ; condition à laquelle il n’est pas difficile de satisfaire lorsqu’on peut avoir l’expression de la vitesse $u,$ ce qui arrive quand la résistance est nulle et quand elle est proportionnelle au carré de la vitesse ; mais il n’en est pas tout à fait de même dans les autres cas où l’équation en $u$ n’est point intégrable. Aussi les deux grands Géomètres dont nous venons de parler n’ont-ils considéré d’autres hypothèses de résistance que celle du carré de la vitesse, et M. Fontaine est le seul qui ait fait jusqu’ici quelques pas de plus dans cette recherche. Sa méthode est fondée sur un calcul particulier qu’il appelle fluxio-différentiel et qui consiste à faire varier les mêmes quantités de deux manières différentes ; et l’on peut regarder l’ouvrage qu’il a donné sur cette matière comme un des plus beaux qui se trouvent parmi les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, et surtout comme celui qui a le plus contribué à la célébrité de cet illustre Mathématicien.

Mais, quelque profonde et quelque ingénieuse que soit cette nouvelle théorie des tautochrones, il faut avouer qu’elle laisse encore beaucoup à désirer. Lorsqu’il n’y a point de résistance, et que par conséquent la force accélératrice du corps est entièrement indépendante de la vitesse, on sait depuis longtemps que le tautochronisisme exige que cette force soit proportionnelle à l’espace qui reste à parcourir. Mais quelle est en général la force nécessaire pour produire le tautochronisisme, en la regar-