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3^o En faisant

$\mathrm {P} =x^{2},\qquad \mathrm {Q} =y^{2},\qquad \Sigma \left({\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {y^{3}}{3}}\right)={\frac {1}{x^{3}-y^{3}}},$

$2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} =3\gamma \mathrm {Z+{\frac {9\zeta Z^{2}}{2}}+9\lambda Z^{3}} \ {\text{à cause de}}\ \mathrm {Z} ={\frac {x^{3}+y^{3}}{3}},$

$\Gamma (x)={\frac {\zeta x^{6}}{2}}+{\frac {2\lambda x^{9}}{3}},\qquad \Delta (y)={\frac {\zeta y^{6}}{2}}+{\frac {2\lambda y^{9}}{3}}$

et

$\alpha =0,\qquad \beta =0,\quad \delta =0,\quad \varepsilon =0,\quad ,\eta =0,\quad \theta =0,\ldots$

et ainsi des autres.

Au reste, tous ces différents cas peuvent se déduire du premier par des substitutions convenables ; c’est de quoi l’on se convaincra aisément en mettant, dans l’équation ${\frac {x}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},x^{2},x^{3},\ldots ,$ à la place de $x,$ et $y^{2},y3,\ldots ,$ à la place de $y\,;$ de sorte que, à proprement parler, les suppositions de $\mathrm {P} =x^{m}$ et $\mathrm {Q} =y^{m}$ ne donnent point d’autres cas que ceux de $\mathrm {P} =1$ et $\mathrm {Q} =1.$ Mais comme ces suppositions sont très-particulières, et que l’équation (L) n’est elle-même qu’un cas très-particulier de l’équation (K) du n^o 20, il n’est pas impossible qu’on ne puisse découvrir encore par le moyen de cette équation d’autres cas d’intégrabilité de l’équation ${\frac {x}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}\,;$ ce qui ouvre, comme on voit, un vaste champ aux recherches des analystes.