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donc on aura enfin pour l’équation de condition

(L)

$\mathrm {\left(P^{2}X-Q^{2}Y\right)} \Sigma \left(\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy\right)=2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} +\Gamma (x)+\Delta (y).$

Quoique cette équation ne soit qu’un cas particulier de l’équation (K), elle est cependant en quelque sorte plus générale que celle que nous avons trouvée par la méthode du n^o 15.

22. Si l’on fait, comme dans le n^o 16,

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}+\zeta x^{5}+\eta x^{6}+\theta x^{7}+\lambda x^{8}+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}+\zeta y^{5}+\eta y^{6}+\theta y^{7}+\lambda y^{8}+\ldots .\end{aligned}}$

on trouvera que l’on peut satisfaire à l’équation (L) dans les cas suivants :

1^o En faisant

$\mathrm {P} =1,\qquad \mathrm {Q} =1,\qquad \Sigma (x-y)={\frac {1}{x-y}},$

$2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} =\beta +\gamma \mathrm {Z+{\frac {\delta Z^{2}}{2}}+{\frac {\varepsilon Z^{3}}{3}}} ,\quad {\text{à cause de}}\quad \mathrm {Z} =x+y,$

$\Gamma (x)={\frac {\delta x^{2}}{2}}+{\frac {2\varepsilon x^{3}}{3}},\qquad \Delta (y)={\frac {\delta y^{2}}{2}}+{\frac {2\varepsilon y^{3}}{3}},$

et

$\zeta =0,\qquad \eta =0,\ldots \,;$

c’est le cas que nous avons résolu dans le même numéro.

2^o En faisant

$\mathrm {P} =x,\qquad \mathrm {Q} =y,\qquad \Sigma \left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{x^{2}-y^{2}}},$

$2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} =\alpha +2\gamma \mathrm {Z+2\varepsilon Z^{2}+{\frac {8\eta Z^{3}}{3}}} ,\ {\text{à cause de}}\ \mathrm {Z} ={\frac {x^{2}+y^{2}}{2}},$

$\Gamma (x)=-{\frac {\varepsilon x^{4}}{2}}+{\frac {2\eta x^{6}}{3}},\qquad \Delta (y)={\frac {\varepsilon y}{2}}+{\frac {2\eta y^{6}}{3}},$

et

$\beta =0,\quad \delta =0,\quad \zeta =0,\quad ,\theta =0,\quad \lambda =0,\ldots$