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II.

Quoique la méthode donnée dans le tome II des Miscellanea Taurinensia suffise pour trouver la variation de toute fonction composée d’un nombre quelconque de variables, et contenant autant de signes d’intégration qu’on voudra, voici comment elle peut encore être généralisée et simplifiée à quelques égards.

Soit $\varphi$ la fonction dont on propose de trouver la variation $\delta \varphi ,$ et supposons que cette fonction $\varphi$ soit donnée par une équation différentielle d’un degré quelconque entre $\varphi$ et $x,y,z,\ldots ,$ et les différentielles de ces variables. Dénotons cette équation par $\Phi =0,$ et différentiant par $\delta ,$ on aura $\delta \Phi =0\,;$ or, comme $\Phi$ est une fonction donnée de $\varphi ,x,y,z,\ldots ,$$d\varphi ,dx,dy,dz,\ldots ,$ on différentiera cette fonction en regardant chacune des quantités $\varphi ,x,y,\ldots ,d\varphi ,dx,dy,\ldots ,$ comme une variable particulière, et marquant les différences par $\delta ,$ on aura

${\begin{aligned}\delta \Phi &=p\delta \varphi +p'\delta d\varphi +p''\delta d^{2}\varphi +p'''\delta d^{3}\varphi +\ldots \\&+q\delta x\ +q'\delta dx\,+q''\delta d^{2}x\,+q'''\delta d^{3}x+\ldots \\&+r\delta y\,\ +r'\delta dy\,+r''\delta d^{2}y\ +r'''\delta d^{3}y\,+\ldots \\&+s\delta z\,\ +s'\delta dz\,+s''\delta d^{2}z\ +s'''\delta d^{3}z\ +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0,\end{aligned}}$

où $p.p',p'',\ldots ,q.q'.q'',\ldots$ seront des fonctions données de $\varphi ,x,y,\ldots ,$$d\varphi ,dx,dy,\ldots .$

Maintenant il est assez facile de voir que $\delta d\varphi$ sera la même chose que $d\delta \varphi ,$ $\delta d^{2}\varphi$ la même chose que $d^{2}\delta \varphi ,$ et ainsi des autres expressions semblables ; d’où il s’ensuit que l’équation précédente pourra toujours se mettre sous cette forme :

(A)

$\left\{{\begin{aligned}&p\delta \varphi +p'd\delta \varphi +p''d^{2}\delta \varphi +p'''d^{3}\delta \varphi +\ldots \\+&q\delta x\,+q'd\delta x\,+q''d^{2}\delta x+q'''d^{3}\delta x\ +\ldots \\+&r\delta y\ +r'd\delta y\ +r''d^{2}\delta y\,+r'''d^{3}\delta y\ +\ldots \\+&s\delta z\ +s'd\delta z\ +s''d^{2}\delta z\ +s'''d^{3}\delta z\ +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0,\end{aligned}}\right.$