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et il faudra que la variable $\xi$ soit déterminée en sorte que l’on ait \mathrm P=0, ou bien

$p\xi -d(p'\xi )+d^{2}(p''\xi )-d^{3}(p'''\xi )-\ldots =0,$

et que de plus

$(\mathrm {P} '')=0,\qquad (\mathrm {P} ''')=0,\ldots .$

III.

Voyons maintenant l’usage qu’on doit faire de ces formules dans les questions de maximis et minimis, et supposons qu’il s’agisse de trouver la relation qui doit être entre les variables $x,y,z,\ldots ,$ pour que la fonction $\varphi$ devienne la plus grande ou la plus petite. Nous observerons d’abord que comme cette fonction est supposée donnée par une équation différentielle $\Phi =0,$ elle renfermera nécessairement un certain nombre de constantes arbitraires, lequel sera égal à l’exposant de la plus haute différentielle de $\varphi$ dans l’équation $\Phi =0.$ De plus il faudra, par la nature du problème, que la fonction $\varphi$ renferme des expressions intégrales indéfinies, et les circonstances de la question détermineront l’endroit où ces intégrales devront être supposées commencer. Supposons que ce soit lorsque $x=a,\ y=b,\ z=c,\ldots ,$ il est clair que les valeurs correspondantes de $\varphi$ et de ses différentielles seront des fonctions données de $a,b,c,\ldots ,$$da,db,dc,\ldots ,$ et des constantes arbitraires qui entrent dans l’expression de $\varphi \,;$ de sorte que si le nombre de ces constantes est $\mu ,$ c’est-à-dire, si la plus haute différentielle de $y$ dans la valeur de $\Phi$ est $d^{\mu }\varphi ,$ alors les valeurs des quantités $\varphi ,d\varphi ,d^{2}\varphi ,\ldots ,$ jusqu’à $d^{\mu -1}\varphi ,$ lorsque $x=a,$$y=b,\ z=c,\ldots ,$ seront arbitraires, et pourront être supposées données.

Cela posé, supposons que la valeur de $\varphi$ qui doit être la plus grande ou la plus petite soit celle qui répond à l’endroit où $x=l,\ y=m,\ z=n,\ldots ,$ il faudra donc que la variation de cette valeur de $\varphi$ soit nulle, en sorte qu’en la désignant par la caractéristique $\delta$ on ait dans le même endroit $\delta \varphi =0.$ Ainsi il n’y aura qu’à supposer dans la formule (C) que l’intégrale $\int (\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\ldots )$ soit prise de manière qu’elle com-