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mence lorsque $x=a,y=b,z=c,\ldots ,$ et qu’elle finisse lorsque $x=l,y=m,z=n,\ldots ,$ de sorte que les quantités qui dans cette formule se trouvent enfermées entre des crochets carrés soient rapportées à l’endroit où $x=a,y=b,z=c,\ldots ,$ et que celles qui sont enfermées entre des crochète ronds soient rapportées à l’endroit où $x=l,y=m,z=n,\ldots ,$ et comme la question demande que dans ce second endroit la variation $\delta \varphi$ soit nulle, on fera le terme $(\mathrm {P} '\delta \varphi )=0,$ ce qui donnera l’équation cherchée pour le maximum ou minimum. Or cette équation étant composée de deux parties, dont l’une contient tous les termes qui sont sous le signe intégral, et dont l’autre n’est composée que de ceux qui sont hors du signe, il faudra faire deux équations séparées de ces deux parties, ce qui donnera

(D)

$0=\int (\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\mathrm {S} \delta z+\ldots ),$

(E)

$\left\{{\begin{aligned}0=&\left[\mathrm {P} '\delta \varphi +\mathrm {P} ''d\delta \varphi +\mathrm {P} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \right.\\&+\mathrm {Q} '\delta x+\mathrm {Q} ''d\delta x+\mathrm {Q} '''d^{2}\delta x+\ldots \\&+\mathrm {R} '\delta y\,+\mathrm {R} ''d\delta y+\mathrm {R} '''d^{2}\delta y+\ldots \\&+\mathrm {S} '\delta z\,\ +\mathrm {S} ''d\delta z\,+\mathrm {S} '''d^{2}\delta z+\ldots \\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\-&\left(\mathrm {Q} '\delta x+\mathrm {Q} ''d\delta x+\mathrm {Q} '''d^{2}\delta x+\ldots \right.\\&+\mathrm {R} '\delta y\,+\mathrm {R} ''d\delta y+\mathrm {R} '''d^{2}\delta y+\ldots \\&+\mathrm {S} '\delta z\,\ +\mathrm {S} ''d\delta z\,+\mathrm {S} '''d^{2}\delta z+\ldots \\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right)\\\end{aligned}}\right.$

L’équation (D) donnera en général, pour toutes les valeurs de $x,y,z,\ldots ,$ depuis $x=a,y=b,z=c,\ldots ,$ jusqu’à $x=l,y=m,z=n,\ldots ,$ celle-ci ;

(F)

$\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\mathrm {S} \delta z+\ldots =0.$

Or, cette équation doit avoir lieu quelles que soient les différences marquées par $\delta \,;$ donc : 1^o si, par la nature du problème, il n’y a aucune relation donnée entre les variables $x,y,z,\ldots ,$ les différentielles $\delta x,\delta y,\delta z,\ldots ,$ seront indépendantes l’une de l’autre, et il faudra faire les équations particulières $\mathrm {Q} =0,$$\mathrm {R=0,S} =0,\ldots .$ Mais si, par exemple, les