variables
devaient être telles que l’on eût toujours
![{\displaystyle \mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9b81edb0d6208582c24df5339039b0bfcd430a)
alors, en changeant
en
on aurait aussi
![{\displaystyle \mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d576905ca87a2912c1a6a73ac659b889e63ab26b)
d’où
![{\displaystyle \delta x=-\mathrm {\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {X} }} \delta y-\mathrm {\frac {\mathrm {Z} }{\mathrm {X} }} \delta z-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501270de6df5aad2710167ee5c93ce368d672c40)
ce qui, étant substitué dans l’équation (F), donnerait celle-ci
![{\displaystyle (\mathrm {RX-QY} )\delta y+(\mathrm {SX-QZ} )\delta \mathrm {Z} +\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f576afaed037395db4f58adc0c1e0963bd5ce7)
de sorte qu’il faudrait faire ensuite les équations particulières
![{\displaystyle \mathrm {RX-QY} =0,\qquad \mathrm {SX-QZ} =0,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab6c0390119055f9b12641490fe2bb9031f95c2)
En général, il faudra réduire les différentielles
au plus petit nombre possible, et égaler ensuite à zéro le coefficient de chacune de celles qui restent, et ces équations jointes aux équations données, s’il y en
par la nature du problème, serviront à trouver la relation nécessaire entre les variables
pour que la fonction
devienne la plus grande ou la plus petite.
Or, il est facile de voir que cette relation sera toujours donnée par une ou plusieurs équations différentielles, de sorte que l’intégration y introduira nécessairement des constantes arbitraires ; ainsi il restera encore à trouver la relation nécessaire entre ces constantes pour que la fonction
devienne un maximum ou un minimum. C’est à quoi on parviendra à l’aide de l’équation (E) ; en effet, comme cette équation se rapporte à des valeurs déterminées de
il est clair qu’on y pourra satisfaire par le moyen des constantes dont nous parlons. Pour cela, on observera que les différentielles ![{\displaystyle d\delta \varphi ,d^{2}\delta \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d670f2b81d5a5d3d289f65e305ffb9ec389258)
sont les mêmes que celles-ci : ![{\displaystyle \delta d\varphi ,\delta d^{2}\varphi ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ef31c8e48e9a7a7d7be967ca301e8a643f1d99)
comme nous l’avons vu plus haut ; de sorte que si l’on désigne par
la valeur de
qui répond à l’endroit où
et que l’on désigne de même