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variables $x,y,z,\ldots ,$ devaient être telles que l’on eût toujours

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz+\ldots =0,$

alors, en changeant $d$ en $\delta ,$ on aurait aussi

$\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z+\ldots =0,$

d’où

$\delta x=-\mathrm {\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {X} }} \delta y-\mathrm {\frac {\mathrm {Z} }{\mathrm {X} }} \delta z-\ldots .$

ce qui, étant substitué dans l’équation (F), donnerait celle-ci

$(\mathrm {RX-QY} )\delta y+(\mathrm {SX-QZ} )\delta \mathrm {Z} +\ldots =0,$

de sorte qu’il faudrait faire ensuite les équations particulières

$\mathrm {RX-QY} =0,\qquad \mathrm {SX-QZ} =0,\ldots .$

En général, il faudra réduire les différentielles $\delta x,\delta y,\delta z,\ldots ,$ au plus petit nombre possible, et égaler ensuite à zéro le coefficient de chacune de celles qui restent, et ces équations jointes aux équations données, s’il y en $a,$ par la nature du problème, serviront à trouver la relation nécessaire entre les variables $x,y,z,\ldots ,$ pour que la fonction $\varphi$ devienne la plus grande ou la plus petite.

Or, il est facile de voir que cette relation sera toujours donnée par une ou plusieurs équations différentielles, de sorte que l’intégration y introduira nécessairement des constantes arbitraires ; ainsi il restera encore à trouver la relation nécessaire entre ces constantes pour que la fonction $\varphi$ devienne un maximum ou un minimum. C’est à quoi on parviendra à l’aide de l’équation (E) ; en effet, comme cette équation se rapporte à des valeurs déterminées de $x,y,z,\ldots ,$ il est clair qu’on y pourra satisfaire par le moyen des constantes dont nous parlons. Pour cela, on observera que les différentielles $d\delta \varphi ,d^{2}\delta \varphi ,$$\ldots ,d\delta x,d^{2}\delta x,\ldots ,$ sont les mêmes que celles-ci : $\delta d\varphi ,\delta d^{2}\varphi ,\ldots ,$$\delta dx,\delta d^{2}x,\ldots ,$ comme nous l’avons vu plus haut ; de sorte que si l’on désigne par $f$ la valeur de $\varphi$ qui répond à l’endroit où $x=a,y=b,\ldots ,$ et que l’on désigne de même