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de l’expliquer ; par exemple, si $\mathrm {E_{\rho }=E} ,$ $\rho$ étant $<\mu -1,$ on diminuera tous les indices de $\rho ,$ en ajoutant $\mu$ lorsque les restes deviendront négatifs, et l’on aura les nouvelles séries $\mathrm {E_{1},E_{2},E_{3}} ,\ldots ,$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,$ à l’aide desquelles on trouvera de nouvelles valeurs de $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} \,:$ c’est ainsi que nous en avons déjà usé dans l’Exemple V.

Ayant résolu plus haut l’équation

$10=r^{2}-431s^{2},$

supposons maintenant qu’il s’agisse de résoudre encore l’équation

$2=r^{2}-431s^{2}.$

Je trouve, en examinant les valeurs des termes $\mathrm {E,E_{1},E_{2},\ldots ,E_{16}} ,$ trouvées ci-dessus, que $\mathrm {E} _{10}=2\,;$ or, comme on avait $m=2$ et $\mu =16,$ la nouvelle valeur de $m$ sera (à cause de $\rho =2$ et $m'=2$) $16+2-10=8,$ d’où je conclus que l’équation dont il s’agit est résoluble (37).

Je diminuerai donc tous les indices de $10,$ en y ajoutant $16$ lorsqu’il viendra des restes négatifs, et j’aurai les valeurs suivantes de $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,$ jusqu’à $\lambda _{7},$ c’est-à-dire $\lambda _{\mu -1},$ qui sont les seules dont nous ayons besoin pour trouver $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} ,$

${\begin{aligned}\lambda _{1}=&1,\\\lambda _{2}=&7,\\\lambda _{3}=&2,\\\lambda _{4}=&1,\\\lambda _{5}=&5,\\\lambda _{6}=&3,\\\lambda _{7}=&1,\end{aligned}}\qquad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \qquad {\begin{aligned}l_{1}=&1,\\l_{2}=&8,\\l_{3}=&17,\\l_{4}=&25,\\l_{5}=&142,\\l_{6}=&451,\\l_{7}=&593,\end{aligned}}$

Ainsi, à cause de $\beta =20,$ on trouvera

$\mathrm {R} =\beta l_{7}+l_{6}=12\,311,\quad \mathrm {S} =l_{7}=593\,;$

de sorte qu’on aura ici

$r=12\,311\xi +255\,583\psi ,\quad s=12\,311\psi +593\xi ,$

les valeurs de $\xi$ et $\psi$ étant exprimées comme dans l’Exemple VI.