par 
il n’y aura qu’à diminuer, dans la série déjà trouvée 
tous les indices du nombre 
en les augmentant de 
lorsqu’ils deviendront négatifs.
On en fera de même à l’égard de la série correspondante 
et l’on aura par ce moyen les nouvelles séries 
et 
relatives à l’équation
et à l’aide desquelles on cherchera seulement les nombres 
et 
puisqu’on connaît déjà les nombres 
et 
Il faudra cependant, pour que le Problème soit soluble, que les nouveaux indices 
et aient les conditions requises (37) ; c’est ce qu’il faudra d’abord examiner pour ne pas faire des calculs inutiles. Quant à il aura toujours la même valeur, parce que chaque période de la série contenant toujours nécessairement les mêmes termes, il faudra aussi que le nombre de ces termes soit toujours le même ; ainsi il ne s’agira que d’avoir 
Or, si l’on appelle 
l’exposant du terme qui était égal à l’unité dans la première série, il est clair qu’on aura 
si 
ou 
si 
de cette manière on connaîtra sur-le-champ si la nouvelle équation est résoluble ou non.
Si au, contraire le nombre 
ne se trouve point dans la série alors ce sera une marque sûre que l’équation
n’est point résoluble ; car si l’on formait d’après le nombre la série 
analogue à la série on n’y trouverait point de terme égal à l’unité.
Il s’ensuit aussi de ce que nous venons de dire que, lorsqu’on a calculé la série 
d’après une valeur de 
alors on peut se dispenser de chercher d’autres valeurs de 
(34), et il n’y aura qu’à voir si dans cette série il y a d’autres termes égaux à et former ensuite de nouvelles séries dont ces termes soient les premiers, comme nous venons
