nulles, lorsque
et qu’elles soient complètes lorsque
Ainsi l’équation (G) deviendra dans ce cas
(H)
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V.
Comme les équations différentielles ne renferment pas proprement les différentielles elles-mêmes, mais seulement leurs rapports, il est clair que la fonction
qui forme le premier membre de l’équation proposée
pourra être regardée comme une fonction de
de ![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dx}},{\frac {dy}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f483d23898a128222a07f957d77df9e1b434f94)
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817613072c7f9e10dae74048832925d1c376307f)
Supposons pour plus de généralité qu’on ait
étant une fonction de ![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dx}},{\frac {dy}{dx}},{\frac {dz}{dx}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23264bdd85dfa450d7c2af49a45025d2b4aedca)
![{\displaystyle {\frac {d{\cfrac {d\varphi }{dx}}}{dx}},{\frac {d{\cfrac {dy}{dx}}}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0774e856ba683380e135753321316baac01d79a)
et différentiant par
on aura
![{\displaystyle \delta \Phi =m\Sigma dx^{m-1}s\delta dx+dx^{m}\delta \Sigma \,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d53b0a72d22ee7ad76edde3d9ed65d74bf61fd1)
mais l’équation
donne
donc
![{\displaystyle \delta \Phi =dx^{m}\delta \Sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51152d084fe9cb1d26113a4209e1c20c2fe08b71)