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nulles, lorsque $x=a,y=b,\ldots ,$ et qu’elles soient complètes lorsque $x=l,y=m,\ldots .$ Ainsi l’équation (G) deviendra dans ce cas

(H)

$\left\{{\begin{aligned}0&=\mathrm {F} '\delta f+\mathrm {F} ''\delta df+\mathrm {F} '''\delta d^{2}f+\ldots \\&+\left(\mathrm {A} '-\int \alpha \xi \right)\delta a+\left(\mathrm {A} ''-\int \alpha '\xi \right)\delta da+\left(\mathrm {A} '''-\int \alpha ''\xi \right)\delta d^{2}a+\ldots \\&+\left(\mathrm {B} '-\int \beta \xi \right)\delta b\ +\left(\mathrm {B} ''-\int \beta '\xi \right)\delta db\ +\left(\mathrm {B} '''-\int \beta ''\xi \right)\delta d^{2}b+\ldots \\&+\left(\mathrm {C} '-\int \gamma \xi \right)\delta c\ \,+\left(\mathrm {C} ''-\int \gamma '\xi \right)\delta dc\ +\left(\mathrm {C} '''-\int \gamma ''\xi \right)\delta d^{2}c+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\left(\mathrm {L} '-\int \lambda \xi \right)\delta l\ \ \ +\left(\mathrm {L} ''-\int \lambda '\xi \right)\delta dl\,\ \ \ +\left(\mathrm {L} '''-\int \lambda ''\xi \right)\delta d^{2}l+\ldots \\&+\left(\mathrm {M} '-\int \mu \xi \right)\delta m+\left(\mathrm {M} ''-\int \mu '\xi \right)\delta dm+\left(\mathrm {M} '''-\int \mu ''\xi \right)\delta d^{2}m+\ldots \\&+\left(\mathrm {N} '-\int \nu \xi \right)\delta n\ \ +\left(\mathrm {N} ''-\int \nu '\xi \right)\delta dn\ \ +\left(\mathrm {N} '''-\int \nu ''\xi \right)\delta d^{2}n+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right.$

V.

Comme les équations différentielles ne renferment pas proprement les différentielles elles-mêmes, mais seulement leurs rapports, il est clair que la fonction $\Phi$ qui forme le premier membre de l’équation proposée $\Phi =0$ pourra être regardée comme une fonction de $\varphi ,x,y,z,\ldots$ de ${\frac {d\varphi }{dx}},{\frac {dy}{dx}},$${\frac {dz}{dx}},\ldots ,$${\frac {d{\cfrac {d\varphi }{dx}}}{dx}},{\frac {d{\cfrac {dy}{dx}}}{dx}},{\frac {d{\cfrac {dz}{dx}}}{dx}},\ldots .$ Supposons pour plus de généralité qu’on ait $\Phi =\Sigma dx^{m}$ $\Sigma$ étant une fonction de ${\frac {d\varphi }{dx}},{\frac {dy}{dx}},{\frac {dz}{dx}},\ldots ,$${\frac {d{\cfrac {d\varphi }{dx}}}{dx}},{\frac {d{\cfrac {dy}{dx}}}{dx}},$${\frac {d{\cfrac {dz}{dx}}}{dx}},\ldots .$ et différentiant par $\delta ,$ on aura

$\delta \Phi =m\Sigma dx^{m-1}s\delta dx+dx^{m}\delta \Sigma \,:$

mais l’équation $\Phi =0$ donne $\Sigma =0\,;$ donc

$\delta \Phi =dx^{m}\delta \Sigma .$