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Or, soit

${\begin{aligned}\delta \Sigma &=\pi \delta \varphi +\pi '\delta {\frac {d\varphi }{dx}}+\pi ''\delta {\frac {d{\cfrac {d\varphi }{dx}}}{dx}}+\ldots \\&+\rho \delta y\ \ +\rho '\delta {\frac {dy}{dx}}\,+\rho ''\delta {\frac {d{\cfrac {dy}{dx}}}{dx}}+\ldots \\&+\sigma \delta z\ \ +\sigma '\delta {\frac {dz}{dx}}\,+\sigma ''\delta {\frac {d{\cfrac {dz}{dx}}}{dx}}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\tau \delta x.\end{aligned}}$

Donc, multipliant par $\xi dx^{m},$ et intégrant par parties en sorte qu’il ne reste sous le signe intégral que les différentielles $\delta x,\delta \varphi ,\delta y,\delta z,\ldots ,$ on aura une expression qui sera identique à l’expression $\Pi +\int \Psi$ de l’Article II ; en sorte que les quantités hors du signe seront identiques à la quantité $\Pi ,$ et les quantités sous le signe identiques à la quantité $\Psi .$ Considérons seulement les quantités qui seront hors du signe, et je dis que, si dans ces quantités on change $\delta$ en $d,$ elles deviendront nulles d’elles-mêmes. En effet :

1^o Le terme $\pi \delta \varphi ,$ n’étant susceptible d’aucune intégration par parties, restera tout entier sous le signe.

2^o Le terme $\pi '\delta {\frac {d\varphi }{dx}}$ deviendra d’abord

$\pi '\left({\frac {\delta d\varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi \delta dx}{dx^{2}}}\right),$

de sorte qu’en multipliant par $\xi dx^{m},$ et changeant $\delta d\varphi ,\delta dx$ en $d\delta \varphi ,d\delta x,$ on aura l’intégrale

$\int \xi \pi 'dx^{m}\left({\frac {d\delta \varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi d\delta x}{dx^{2}}}\right)\,;$

d’où, en intégrant par parties, on aura les termes hors du signe

$\xi \pi 'dx^{m}\left({\frac {\delta \varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi \delta x}{dx^{2}}}\right)\,;$