Or, soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \Sigma &=\pi \delta \varphi +\pi '\delta {\frac {d\varphi }{dx}}+\pi ''\delta {\frac {d{\cfrac {d\varphi }{dx}}}{dx}}+\ldots \\&+\rho \delta y\ \ +\rho '\delta {\frac {dy}{dx}}\,+\rho ''\delta {\frac {d{\cfrac {dy}{dx}}}{dx}}+\ldots \\&+\sigma \delta z\ \ +\sigma '\delta {\frac {dz}{dx}}\,+\sigma ''\delta {\frac {d{\cfrac {dz}{dx}}}{dx}}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\tau \delta x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2ed2a7f1f05d1e425e18c2c262dcb282036541)
Donc, multipliant par
et intégrant par parties en sorte qu’il ne reste sous le signe intégral que les différentielles
on aura une expression qui sera identique à l’expression
de l’Article II ; en sorte que les quantités hors du signe seront identiques à la quantité
et les quantités sous le signe identiques à la quantité
Considérons seulement les quantités qui seront hors du signe, et je dis que, si dans ces quantités on change
en
elles deviendront nulles d’elles-mêmes. En effet :
1o Le terme
n’étant susceptible d’aucune intégration par parties, restera tout entier sous le signe.
2o Le terme
deviendra d’abord
![{\displaystyle \pi '\left({\frac {\delta d\varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi \delta dx}{dx^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b366aa38bccd98305f9ad96d780eeada1f1569)
de sorte qu’en multipliant par
et changeant
en
on aura l’intégrale
![{\displaystyle \int \xi \pi 'dx^{m}\left({\frac {d\delta \varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi d\delta x}{dx^{2}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f49f35bf36e8e2bb75a15cf494db1a47793f2f0)
d’où, en intégrant par parties, on aura les termes hors du signe
![{\displaystyle \xi \pi 'dx^{m}\left({\frac {\delta \varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi \delta x}{dx^{2}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efcf4f1845d9d33ed99ef38e9388f43873d83b26)