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§ V. — Manière de trouver toutes les solutions possibles en nombres
entiers des équations du second degré à deux inconnues.

63. Nous avons donné dans le § III la méthode de trouver toutes les solutions possibles en nombres entiers, dont une équation quelconque de la forme

$\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2}$

peut être susceptible ; mais, lorsqu’il s’agit de résoudre en nombres entiers une équation quelconque du second degré à deux inconnues, telle que celle du n^o 1, il ne suffit pas que, dans la réduite $\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2},$ $u$ et $t$ soient des nombres entiers ; il faut de plus que ces deux nombres soient tels que $\pm u-f$ soit divisible par $\mathrm {B} ,$ et que $\pm t-\delta -{\frac {\beta (\pm u-f)}{\mathrm {B} }}$ le soit par $2\alpha ,$ les signes ambigus de $u$ et $t$ étant à volonté (2).

Or, lorsque $\mathrm {B}$ est un nombre négatif, nous avons vu (27) que le nombre des solutions de l’équation

$\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2},$

est toujours limité ; de sorte qu’il n’y aura qu’à essayer successivement toutes les valeurs de $u$ et de $t$ qu’on aura trouvées, et l’on verra s’il y en a quelques-unes qui satisfassent aux conditions dont il s’agit ; si aucune n’y satisfait, on en pourra conclure que l’équation proposée n’est point résoluble en nombres entiers.

Il n’en est pas de même lorsque $\mathrm {B}$ est un nombre positif : car dans ce cas nous avons vu (44) que le nombre des solutions possibles est toujours ou nul ou infini. Il est vrai que, quand l’équation

$u^{2}-\mathrm {B} t^{2}=\mathrm {A}$

est résoluble, on peut trouver par nos méthodes des formules générales qui renferment absolument toutes les solutions possibles ; ainsi la ques-