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II.

Si l’on avait à multiplier ensemble deux quantités de cette forme

$p^{2}-\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {BC} s^{2},$

on pourrait démontrer par la méthode précédente que le produit serait aussi de la même forme.

Car soient

${\begin{aligned}&p^{2}-\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {BC} s^{2},\\&p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}-\mathrm {C} r_{1}^{2}+\mathrm {BC} s_{1}^{2}\end{aligned}}$

les deux quantités qu’il s’agit de multiplier l’une par l’autre : en faisant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\alpha ,\quad &p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\beta ,\\r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\gamma ,&r-s{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\delta ,\end{alignedat}}$

et de même

${\begin{alignedat}{2}p_{1}+q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\alpha _{1},\quad &p_{1}-q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\beta _{1},\\r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\gamma _{1},&r_{1}-s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\delta _{1},\end{alignedat}}$

elles deviendront

$\alpha \beta -\mathrm {C} \gamma \delta \quad {\text{et}}\quad \alpha _{1}\beta _{1}-\mathrm {C} \gamma _{1}\delta _{1},$

dont le produit peut se réduire à cette forme

$\left(\alpha \alpha _{1}\pm \mathrm {C} \gamma \gamma _{1}\right)\left(\beta \beta _{1}\pm \mathrm {C} \delta \delta _{1}\right)-\mathrm {C} \left(\alpha \delta _{1}\pm \gamma \beta _{1}\right)\left(\beta \gamma _{1}\pm \delta \alpha _{1}\right).$

Or, il est facile de voir qu’on aura

${\begin{aligned}\alpha \alpha _{1}\pm \mathrm {C} \gamma \gamma _{1}=&\mathrm {P+Q{\sqrt {B}}} ,\\\beta \beta _{1}\ \pm \mathrm {C} \,\delta \delta _{1}=&\mathrm {P-Q{\sqrt {B}}} ,\\\alpha \delta _{1}\ \pm \gamma \beta _{1}\,\ \ =&\mathrm {R+S{\sqrt {B}}} ,\\\beta \gamma _{1}\,\ \pm \delta \alpha _{1}\,\ \ =&\mathrm {R-S{\sqrt {B}}} ,\end{aligned}}$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&pp_{1}+\mathrm {B} qq_{1}\pm \mathrm {C} (rr_{1}+\mathrm {B} ss_{1}),\\\mathrm {Q} =&pq_{1}+qp_{1}\ \ \ \pm \mathrm {C} (rs_{1}+sr_{1}),\\\mathrm {R} =&pr_{1}-\mathrm {B} qs_{1}\,\pm \mathrm {C} (rp_{1}-\mathrm {B} sq_{1}),\\\mathrm {S} =&qr_{1}-ps_{1}\,\ \ \ \pm (sp_{1}-rq_{1}),\end{aligned}}$