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Or, il est facile de voir que les valeurs de

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\quad \alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$

sont toujours telles que

$\beta \alpha '-\alpha \beta '=1,\quad \beta \gamma '-\gamma \beta '=1,\quad \delta \gamma '-\gamma \delta '=1,\ldots ,$

d’où il s’ensuit :

1^o Que ces fractions sont déjà réduites à leurs moindres termes ; car, si $\gamma$ et $\gamma ',$ par exemple, avaient un commun diviseur autre que l’unité, il faudrait, en vertu de l’équation

$\beta \gamma '-\gamma \beta '=1,$

que l’unité fût aussi divisible par ce même diviseur ;

2^o Qu’on aura

${\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\alpha }{\alpha '}}={\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\gamma '\delta '}},\ldots ,$

de sorte que les fractions

${\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}},\quad {\frac {\gamma }{\gamma '}},\ldots$

ne peuvent jamais différer de la vraie valeur de $x$c que d’une quantité respectivement moindre que

${\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {1}{\gamma '\delta '}},\ldots \,;$

d’où il sera facile de juger de la quantité de l’approximation.

En général, puisque $\beta '>\alpha ',\ \gamma '>\beta ',\ldots ,$ on aura

${\frac {1}{\alpha '^{2}}}>{\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {1}{\beta '^{2}}}>{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\ldots ,$

d’où l’on voit que l’erreur de chaque fraction sera toujours moindre que l’unité divisée par le carré du dénominateur de la même fraction ;

3^o Que chaque fraction approchera de la valeur de $x,$ non-seulement plus que ne fait aucune des fractions précédentes, mais aussi, plus que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui aurait un moindre