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dénominateur. En effet, si la fraction ${\frac {\mu }{\mu '}},$ par exemple, approchait plus que la fraction ${\frac {\delta }{\delta '}},$ $\delta '$ étant $>\mu ',$ il faudrait que la quantité ${\frac {\mu }{\mu '}}$ se trouvât entre ces deux ${\frac {\gamma }{\gamma '}}$ et ${\frac {\delta }{\delta '}}\,;$ donc

${\frac {\mu }{\mu '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}<{\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}<{\frac {1}{\gamma '\delta '}}\quad {\text{et}}\quad >0\,;$

donc

$\mu \gamma '-\mu '\gamma <{\frac {\mu '}{\delta '}}<1\quad {\text{et}}\quad >0,$

ce qui ne se peut.

24. Les fractions ${\frac {\alpha }{\alpha '}},\ {\frac {\beta }{\beta '}},\ {\frac {\gamma }{\gamma '}},\ldots$ peuvent être appelées fractions principales, parce qu’elles convergent le plus qu’il est possible vers la valeur cherchée ; mais, quand les nombres $p,q,r,\ldots$ diffèrent de l’unité, on peut encore trouver d’autres fractions convergentes vers la même valeur, et qu’on appellera, si l’on veut, fractions secondaires.

Par exemple, si $r$ est $>1$ on peut entre les fractions ${\frac {\alpha }{\alpha '}}$ et ${\frac {\gamma }{\gamma '}},$ qui sont toutes deux moindres que la valeur de $x,$ insérer autant de fractions secondaires qu’il y a d’unités dans $r-1,$ en mettant successivement $1,2,3,\ldots ,r-1$ au lieu de $r.$ De cette manière, à cause de $\gamma =r\beta +\alpha$ et $\gamma '=r\beta '+\alpha ',$ on aura cette suite de fractions

${\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta +\alpha }{\beta '+\alpha '}},\quad {\frac {2\beta +\alpha }{2\beta '+\alpha '}},\quad {\frac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}},\ldots ,\quad {\frac {r\beta +\alpha }{r\beta '+\alpha '}},$

dont les deux extrêmes sont les deux fractions principales ${\frac {\alpha }{\alpha '}},{\frac {\gamma }{\gamma '}},$ et dont les intermédiaires sont des fractions secondaires.

Or, si l’on prend la différence entre deux fractions consécutives quelconques de cette suite, comme entre ${\frac {2\beta +\alpha }{2\beta '+\alpha '}}$ et ${\frac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}},$ on trouvera ${\frac {1}{(2\beta '+\alpha ')(3\beta '+\alpha ')}},$ de sorte que cette différence sera toujours positive et ira en diminuant d’une fraction à l’autre ; d’où il s’ensuit que, comme