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voici une conséquence qui m’avait échappé alors, et qui peut être d’une grande utilité dans la recherche des racines imaginaires.

3. Nous venons de voir que chaque couple de racines imaginaires de la proposée doit donner au moins une racine réelle négative dans l’équation des différences. Or, il est démontré (voyez les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1741) qu’une équation quelconque ne saurait avoir plus de racines positives qu’elle n’a de changements de signes, ni plus de racines négatives qu’elle n’a de successions du même signe. Donc, le nombre des racines imaginaires dans une équation quelconque ne pourra jamais être plus grand que le double de celui des successions de signe dans l’équation des différences.

4. De là et de ce que nous avons dit ci-dessus il s’ensuit que, si l’équation des différences a tous ses termes alternativement positifs et négatifs, l’équation primitive aura nécessairement toutes ses racines réelles, sinon elle aura nécessairement des racines imaginaires. Ainsi l’on pourra toujours juger par ce moyen s’il y a ou non des racines imaginaires dans une équation quelconque donnée.

Remarque II.

Où l’on donne des règles pour déterminer le nombre des racines
imaginaires d’une équation.

5. Soient

$a,\quad b,\quad c,\quad d,\ldots$

les racines réelles d’une équation quelconque, et

$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\quad \alpha -\beta {\sqrt {-1}},\quad \gamma +\delta {\sqrt {-1}},\quad \gamma -\delta {\sqrt {-1}},\ldots$

les racines imaginaires ; les carrés des différences de ces racines seront

${\begin{array}{lll}(a-b)^{2},&(a-c)^{2},&(a-d)^{2},\ldots ,\\(b-c)^{2},&(b-d)^{2},\ldots ,&(c-d)^{2},\ldots \,;\\-4\beta ^{2},&-4\delta ^{2},\ldots ,\end{array}}$