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Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/583

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§ I. — Sur les racines imaginaires des équations.
Remarque I.
Sur la manière de reconnaître quand toutes les racines d’une équation
sont réelles.

1. Dans le no 8 de ee Mémoire, fai donné des formules générales pour déduire d’une équation quelconque une autre équation dont les racines soient les carrés des différences entre les racines de l’équation proposée. Or, si toutes les racines d’une équation sont réelles, il est évident que les carrés de leurs différences seront tous positifs ; par conséquent, l’équation dont ces carrés seront les racines, et que nous appellerons dorénavant, pour abréger, équation des différences, cette équation, dis-je, n’ayant que des racines réelles positives, aura nécessairement les signes de ses termes alternativement positifs et négatifs ; de sorte que, si cette condition n’a pas lieu, ce sera une marque sûre que l’équation primitive a nécessairement des racines imaginaires.

2. De plus, comme on sait (voyez les Mémoires de cette Académie pour l’année 1746 et ceux de la Société de Turin pour l’année 1760) que les racines imaginaires vont toujours deux à deux, et qu’elles peuvent se mettre sous la forme

et étant des quantités réelles, il s’ensuit que la différence de deux racines imaginaires correspondantes sera nécessairement de la forme de sorte que le carré de cette différence sera c’est-à-dire une quantité réelle et négative. Donc, si l’équation proposée a des racines imaginaires, il faudra nécessairement que l’équation des différences ait au moins autant de racines réelles négatives qu’il y aura de couples de racines imaginaires dans la proposée.

C’est ce que j’avais déjà remarqué dans le § II du Mémoire cité ; mais