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$\Delta$ et $\Pi$ étant prises positivement, on sera sûr que la racine $t$ tombera entre les limites proposées.

Or, pour avoir les nombres $\Delta$ et $\Pi ,$ lorsqu’on ne connaît pas d’avance les racines de l’équation proposée, il n’y aura qu’à chercher dans l’équation des différences (D) du n^o 8 du Mémoire cité, la limite $l$ des racines positives et la limite $-h$ des racines négatives, et l’on pourra prendre pour $\Delta$ un nombre quelconque $=$ ou $<{\frac {1}{\sqrt {l}}},$ et pour $\Pi$ un nombre quelconque $=$ ou $<{\frac {2}{\sqrt {h}}}\,;$ cela suit évidemment de ce que nous avons démontré dans l’endroit cité.

76. Si l’on avait

${\frac {\mu -1}{\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\Pi }}<{\frac {1}{2}},$

alors la condition requise aurait lieu dès le commencement de la série ; de sorte qu’on pourrait approcher de la valeur de $x$ sans aucun tâtonnement. Voici le procédé du calcul.

Ayant trouvé la première valeur entière approchée de $x,$ qu’on pourra prendre plus petite ou plus grande que $x$ à volonté, et nommant cette valeur $p,$ on aura les deux premières fractions ${\frac {1}{0}},{\frac {p}{1}}.$

1^o On fera donc

$\varpi =1,\quad \varpi '=0,\quad \rho =p,\quad \rho '=1,$

et, substituant ces valeurs dans l’expression de $\mathrm {R}$ (73), on prendra le nombre entier qui approchera le plus de

${\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}},$

c’est-à-dire de $-\mathrm {R} ,$ lequel étant nommé $k,$ on aura la fraction

${\frac {k\rho +\varpi }{k\rho '+\varpi '}}={\frac {kp+1}{k}}.$

2^o On fera

$\varpi =p,\quad \varpi '=1,\quad \rho =kp+1,\quad \rho '=k,$